数学 三角関数 合成を利用した最大･最小

▽問題
?si=wjRAn4oLQSjGBC_P

上にURLを貼ったYouTubeの解説動画を見て、x=3π/8の時に最大値、x=0の時に最小値を取ることはわかったのですが、最大値√2 最小値−1はどのように導くのでしょうか。

与式を変形した式のxに x=3π/8、x=0 をそれぞれ代入してみたのですが、その後の解き方がわかりませんでした。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/11/21 10:59

y=2(sinx)^2+2sinxcosx-1 (0≦x≦π/2)

y=sin(2x)-cos(2x)
y=(√2)sin(2x-π/4)
-π/4≦2x-π/4≦3π/4
図より
(-1/√2)≦sin(2x-π/4)≦1
-1≦(√2)sin(2x-π/4)≦√2
2x-π/4=-π/4,x=0のとき最小値-1
2x-π/4=π/2,x=3π/8のとき最大値√2

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2023/11/21 00:45

y = (√2)sin(2x - π/4)

になるところまでは理解できたのですか？

そのときの sin の中身は
　0 ≦ x ≦ π/2
の範囲から
　-π/4 ≦ 2x - π/4 ≦ (3/4)π
になることも分かりますね？

面倒なので
　θ = 2x - π/4　　　　　①
と書いてしまえば、
　y = (√2)sinθ　　　　　②
が、
　-π/4 ≦ θ ≦ (3/4)π
のときにとり得る最大・最小を求めることになります。

θ = (1/2)π が範囲に含まれることから、このときに
　sinθ = sin[(1/2)π] = 1
で最大になり、そのとき最大値は
　y = √2
になります。

最小になるのは、θ = -π/4 のときで
　sinθ = sin(-π/4) = -1/√2
そのとき最小値は
　y = -1
になります。

θ = (1/2)π, (1/2)π のときに x がいくつになるのかは①から求めればよいです。
最大値・最小値は、θ の値から②によって求めます。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
完全に理解できました。

お礼日時：2023/11/21 21:55

No.2 回答者： AっKI 回答日時： 2023/11/20 23:50

なぜxの値を代入しようとするのでしょう？

sin(2x-π/4)の値が
最大のとき１
最小のとき-1/√2
なのだから、それを代入すればよいでしょう？

ただ、xの値を代入しての計算もできないとまずいですね。
もう一度落ち着いてやってみることです。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/11/20 23:02

最大最小を考えるなら、もとの関数の式と定義域を書きなよ！

0 ≦ x ＜ π/2, y = sin(2x) - cos(2x) の y でしょ。

動画のように、三角関数の合成を行って
y = (√2){ sin(2x)・(1/√2) - cos(2x)・(1/√2) }
　= (√2){ sin(2x)・cos(π/4) - cos(2x)・sin(π/4) }
　= (√2) sin(2x - π/4).

0 ≦ x ＜ π/2 のとき、
-π/4 ≦ (2x - π/4) < (3/4)π だから
-1/√2 ≦ sin(2x - π/4) ≦ 1 より
-1 ≦ sin(2x - π/4) ≦ √2.

-π/4 ≦ θ < (3/4)π のとき
なぜ -1/√2 ≦ sinθ ≦ 1 になるかは、
y = sinθ のグラフを書いて考えるといい。