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微分方程式連立行列の形

締切済

質問者：ganbari-math
質問日時：2023/11/27 18:02
回答数：8件

微分方程式連立行列の形

次の問題がわからないので押しえて頂きたいです。

d/dt(x y)=([0,1][2,-1])(x y)+ (0 3e^t)
わかりづらくて申し訳ないですが行列内の各要素は縦に並べていると捉えてください。

特殊解の扱いがわからないです。

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回答 (8件)

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No.8

回答者： mtrajcp
回答日時：2023/12/01 16:10

(0,1.)

(2,-1)
の場合

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No.7

回答者：ありものがたり
回答日時：2023/11/29 14:05

No.5 より No.4 のほうが簡単かも。

dv/dt = Av + b の行列 A を対角化して、
A = PD(P^-1),
D =
　　１　　０
　　０　　-2,
P =
　　１　　１
　　１　　-2.
微分方程式の両辺左から P^-1 を掛けると、
(d/dt)(P^-1)v = D(P^-1)v + (P^-1)b と変形できる。

(P^-1)v = w =
　　X
　　Y
と置いて成分表示すれば
dX/dt = 1X + e^t,
dY/dt = -2Y - e^t
と書ける。

X,Yの微分方程式は、1階正規形だから容易に解ける。
(dX/dt)(e^-t) + X(-e^-t) = (e^t)(e^-t) を積分して、
X(e^-t) = t + C_1　{C_1 は定数｝より
X = (t + C_1)e^t,

(dY/dt)(e^(2t)) + Y(2e^(2t)) = (-e^t)(e^(2t)) を積分して、
Y(e^(2t)) = (-1/3)e^(3t) + C_2　{C_2 は定数｝より
Y = (-1/3)e^t + (C_2)e^(-2t).

v = Pw より、
x = X + Y = (t + C_1 - 1/3)e^t + (C_2)e^(-2t),
y = X - 2Y = (t + C_1 + 2/3)e^t - 2(C_2)e^(-2t).

C_1 - 1/3 = C_3 で置き換えるときれいかな？
x = (t + C_3)e^t + (C_2)e^(-2t),
y = (t + C_3 + 1)e^t - 2(C_2)e^(-2t).　{C_3,C_2 は定数}

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No.6

回答者： mtrajcp
回答日時：2023/11/28 21:10

(0,1.)

(2,-1)
の場合

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No.5

回答者：ありものがたり
回答日時：2023/11/28 14:41

行列 A =

　　0　　1
　　2　　-1,
ベクトル b =
　　0
　　3e^t,
ベクトル v =
　　x
　　y
について dv/dt = A v + b って話なら、
普通の1階正規形微分方程式じゃない。

右辺の A v を移項して
両辺に左から e^(-At) を掛けると、
{e^(-At)} dv/dt + {e^(-At)}(-A) v = {e^(-At)} b.
左辺が積の微分公式の形をしているから、
ｔで積分して
{e^(-At)} v = ∫ {e^(-At)} b dt + c.　{c は任意の定数ベクトル}
両辺に左から e^(At) を掛ければ、
v = {e^(At)} ∫ {e^(-At)} b dt + {e^(At)} c.

これで終わりなんだけど、成分計算するならば...
A = P D (P^-1)　{D は対角行列}　と A を対角化して、
一般に関数 f について f(tA) = P f(ｔD) (P^-1),
f(tD) は対角行列で、その第 n 対角成分が f( tDの第 n 対角成分 )
であることから
具体的に e^(-At) と e^(At) が成分表示できる。
{e^(-At)} b の成分が t の式で求まるから、
∫ {e^(-At)} b dt の積分も実行できる。
あと細かい計算をして
{e^(At)} ∫ {e^(-At)} b dt + {e^(At)} c の各成分も求まる。