大学数学 解析 上極限について

極限やsupについて質問です。
例えば
a_n < b_n に対して、両辺lim[n→∞]をとるのは値が存在しているときしかできない。
しかしlimsupはいつでもとることができるとテキストに書かれていました。

ここで疑問に思ったのですが両辺にsupをとっている場合はlimをとっても構いませんか？
sup(a_n)<sup(b_n)など

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/11/26 05:36

a_n < b_n に対して

limsupはいつでもとることができるというのは

limsup(a_n)=∞
または
limsup(b_n)=∞
と
なるときもふくめて
limsupはいつでもとることができるけれども

limsup(a_n)<limsup(b_n)
ではなく

limsup(a_n)≦limsup(b_n)
となるから

sup(a_n)<sup(b_n)
ではなく

sup(a_n)≦sup(b_n)
となる

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/11/23 19:00

limsup を「いつでもとることができる」とかとることができないとか

考えるから、話が混乱するのではないですか？
lim は収束するとは限らないが、limsup は任意の実数列に対して
(+∞も値と認めるならば)一意に定まる。 それだけです。

そのことと、
十分大きい n に対して a_n < b_n かつ
lim a_n と lim b_n が収束するならば lim a_n ≦ lim b_n が成り立つ
という定理は、直接関係のない話です。

一般に limsup[n→∞] a_n = lim[n→∞] sup[k>n] a_k ですから、
十分大きい N に対して sup[k>n] a_k < sup[k>n] b_k が与えられているなら
limsup[n→∞] a_n ≦ limsup[n→∞] b_n は言えます。

質問文には sup(a_n) < sup(b_n) とありますが、
説明なしでこの式を見ると
sup[k>1] a_k < sup[k>1] b_k を表しているように見えます。
sup[k>1] a_k < sup[k>1] b_k は、
(十分大きい N に対して sup[k>n] a_k < sup[k>n] b_k)
よりも強い条件です。