ラグランジュの未定乗数法

条件 x^2 + 2^2 = 1 の下で， f(x、y) = xy が極値をとる候補点をすべて求めよ．また，その極値の候補点にお
ける f(x、y) の値をそれぞれ求めよ．ただし，その値が極値となることを実際に確かめる必要はない．
　この問題の解答解説お願いします

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/12/26 20:40

x^2+2^2=1

x^2+4=1
x^2=-3
x=±3i
f(x,y)=xy
f(±3i,y)=±3iy

x^2+y^2=1のとき
x=cost
y=sint
となるtがある

f(x,y)
=xy
=sintcost
=(1/2)sin(2t)

-1≦sin(2t)≦1だから
-1/2≦(1/2)sin(2t)≦1/2だから
-1/2≦f(x,y)≦1/2

2t=π/2+2nπのとき
sin(2t)=1
(1/2)sin(2t)=1/2
f(x,y)=1/2
t=π/4+nπ
t=π/4+2kπのとき
x=cos(π/4+2kπ)=1/√2
y=sin(π/4+2kπ)=1/√2
t=π/4+(2k+1)πのとき
x=cos(π/4+(2k+1)π)=-1/√2
y=sin(π/4+(2k+1)π)=-1/√2

2t=-π/2+2nπのとき
sin(2t)=-1
(1/2)sin(2t)=-1/2
f(x,y)=-1/2
t=-π/4+nπ
t=-π/4+2kπのとき
x=cos(-π/4+2kπ)=1/√2
y=sin(-π/4+2kπ)=-1/√2
t=-π/4+(2k+1)πのとき
x=cos(-π/4+(2k+1)π)=-1/√2
y=sin(-π/4+(2k+1)π)=1/√2

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/12/26 13:27

正解が出た後にボケの訂正で申し訳ないが...

No.3 は、
一旦 π/2 → π/4 と修正して、言いたかったことを感じてもらってもいいし、
直接 π/2 → 1/√2 に修正して、鼻で嗤ってもらってもいい。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/12/26 09:14

ちょっと訂正

>その左辺に未定乗数 λを
その左辺に未定乗数 λを掛けたものを

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/12/26 09:09

>条件 x^2 + 2^2 = 1 の下で， f(x、y) = xy が極値をとる候補点

条件がきつすぎて x が決まってしまうので、
極値もへったくれもないけど
x^2 + y^2 = 1
の間違いなんでしょうね。

以下その方針で解くと

教科書通り 条件を x^2+y^2-1 =0 の形に直して
その左辺に未定乗数 λを f(x, y) に加えた関数を
作ります。この関数の停留点を求めるだけです。

h(x, y, λ) = f(x, y) + λ(x^2+y^2-1) (λ: 未定乗数)
∂h/∂x = y + 2λx = 0 ①
∂h/∂y = x + 2λy = 0 ②
∂h/∂λ = x^2+y^2-1 = 0 ③

λ = 0 では ①、②　から x = y = 0 になって③と合わないので
λ ≠ 0 では
①×y - ②×x → y^2-x^2 = 0 → x^2 = y^2
③に入れると
2x^2 = 1,2y^2 = 1 → x =±1/√(2), y =±1/√(2)
候補点(=停留点) =
(1/√(2), 1/√(2)), (-1/√(2), 1/√(2)), (1/√(2), -1/√(2)),
(-1/√(2), -1/√(2))

候補であって、極大点、極小点とは限らないことに注意。

以上は教科書の手順に従って機械的に解けばよいので
質問するようなことではありません。
教科書をよく読みましょう。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/12/25 22:52

「実際に確かめる必要はない」ってことは、カンで答えればいいのかな？

条件 x^2 + y^2 = 1 の下での f(x,y) = xy の極値ってことなら、たぶん、
極大値は (x,y) = (π/2,π/2), (-π/2,-π/2) のとき f(x,y) = 1/2,
極小値は (x,y) = (π/2,-π/2), (-π/2,π/2) のとき f(x,y) = -1/2.

え、そうなる理由？
考えた計算過程はあるけど、それは書かないよ。
確かめる必要はないんでしょ。
答えは保証する。 根拠はカンってことにしといて。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2023/12/25 22:19

解説しますと、

> 条件 x^2 + 2^2 = 1 の下で

ってことはxは (√3)i か -(√3)i かのどっちかである。いずれにせよxは純虚数だから

> f(x、y) = xyが極値をとる

ためには、何はともあれxyが実数でなくちゃならんので、yも純虚数に限定される。すなわち、実数rが存在して y = ir である。さて、(√3)r も-(√3)r も極値は持たない。

というわけで、問題の写し間違いに違いない。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/12/25 21:18

条件式に y が入っていないのは意図したものなのだろうか.

さておき.

(x+y)^2 ≦ 2(x^2+y^2) = 2 より x=y のとき xy = 1/2 が最大値, 一方 (x-y)^2 ≦ 2 より x=-y のとき xy = -1/2 が最小値... ということかな?