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No.3ベストアンサー
- 回答日時:
No.2 です。
まだ、詰まってますか?
α^3 - β^3 - k(α^2 - β^2) + k(α - β) = 4|k|^3
→ (α - β)[(α^2 + αβ + β^2) - k(α + β) + k] = 4|k|^3
→ (α - β)[(α + β)^2 - αβ - k(α + β) + k] = 4|k|^3
ここに
α + β = (2/3)k
αβ = (1/3)k
α - β = -(2/3)√(k^2 - 3k) ←これは二次方程式の一般解から求まる
を代入して
-[(2/3)√(k^2 - 3k)][(4/9)k^2 - (1/3)k - (2/3)k^2 + k] = 4|k|^3
→ [(2/3)√(k^2 - 3k)][(2/9)k^2 - (2/3)k] = 4|k|^3
→ [(1/3)√(k^2 - 3k)][(1/9)k^2 - (1/3)k] = |k|^3
→ [√(k^2 - 3k)](k^2 - 3k) = 27|k|^3
あとは場合分けして
(a) 3<k のとき
|k|^3 = k^3
より
[√(k^2 - 3k)](k^2 - 3k) = 27k^3
→ √(k^2 - 3k) = 27k^2 /(k - 3)
両辺2乗して
k^2 - 3k = 729k^4 /(k - 3)^2
→ (k - 3)^3 = 729k^3
→ k - 3 = 9k
3 < k でこれを満たすものはない。
(b) k<0 のとき
|k|^3 = -k^3
より
[√(k^2 - 3k)](k^2 - 3k) = -27k^3
→ √(k^2 - 3k) = -27k^2 /(k - 3)
両辺2乗して
k^2 - 3k = 729k^4 /(k - 3)^2
→ (k - 3)^3 = 729k^3
→ k - 3 = 9k
→ 8k = -3
→ k = -3/8
検算してみれば
y = x^3 + (3/8)x^2 - (3/8)x + 1
より
y' = 3x^2 + (3/4)x - (3/8) = 0
となるのは
24x^2 + 6x - 3 = 0
→ (4x - 1)(6x + 3) = 0
より
x = -1/2, 1/4
このとき
y(-1/2) = -1/8 + 3/32 + 3/16 + 1 = 37/32
y(1/4) = 1/64 + 3/128 - 3/32 + 1 = 121/128
よって
37/32 - 121/128 = 27/128
一方、
4|k|^3 = 4 × (3/8)^3 = 27/128
合ってますね。
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