x→∞ のとき, f(x) が収束するための必要十分条件が ∀e > 0, ∃R > 0 s.t.x

x→∞ のとき, f(x) が収束するための必要十分条件が
∀e > 0, ∃R > 0 s.t.x,x'>R ⇒ |f(x) f(x')| <e であることを示してほしいです。

質問者からの補足コメント

• 間違えました|f(x)-f(x’)|でした

    補足日時：2024/01/14 21:17

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/01/15 22:07

なんだか式がダラダラ並べてあって何やってんのか見えにくいのだが、

要するに No.2 の x[n] を具体的に x[n] = 1+R(n) の形で構成してみたのね。
いいんじゃない？

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/01/15 10:00

∃b

∀ε>0に対して
∃R > 0
s.t.
∀x>R →|f(x)-b|<ε
と
なるとき
x→∞ のとき, f(x) がbに収束するという

x→∞ のとき, f(x) が収束するならば

∃b

∀ε>0に対して
∃R > 0
s.t.
∀x>R →|f(x)-b|<ε/2
∀x'>R →|f(x')-b|<ε/2

→|f(x)-f(x')|≦|f(x)-b|+|f(x')-b|<ε/2+ε/2=ε

逆に

∀ε>0,∃R > 0 s.t.x,x'>R →|f(x)-f(x')|<ε
ならば
1>0,∃R(1) > 0 s.t.x,x'>R(1) →|f(x)-f(x')|<1
ある自然数nに対して
1/n>0,∃R(n) > 0 s.t.x,x'>R(n) →|f(x)-f(x')|<1/n
と仮定すると
1/(n+1)>0,∃R' > 0 s.t.x,x'>R' →|f(x)-f(x')|<1/(n+1)
だから
R(n+1)=max(R(n),R')
とすると
x,x'>R(n+1)≧R' →|f(x)-f(x')|<1/(n+1)
だから
1/(n+1)>0,∃R(n+1) > 0 s.t.x,x'>R(n+1) →|f(x)-f(x')|<1/(n+1)
が成り立つから
全ての自然数nに対して
1/n>0,∃R(n) > 0 s.t.x,x'>R(n) →|f(x)-f(x')|<1/n
R(n+1)≧R(n)
が成り立つ

y(n)=f(1+R(n))
とすると

∀ε>0に対して
n_0>1/εとなる自然数n_0がある
m,n>n_0,となる任意の自然数m,nに対して
1+R(m)>R(n_0)
1+R(n)>R(n_0)
だから

|y(m)-y(n)|
=|f(1+R(m))-f(1+R(n))|
<1/n_0
<ε

だから
{y(n)}は実数のコーシー列だから収束するから

∃b
∀ε>0に対して
∃n_0
s.t.
∀n>n_0 →|f(1+R(n))-b|=|y(n)-b|<ε/2

∃n_1>n_0+1/ε
∃R(n_1)
n_1>n_0だから|f(1+R(n_1))-b|<ε/2

1+R(n_1)>R(n_1)
∀x>R(n_1)
に対して
|f(x)-f(1+R(n_1))|<1/n_1<ε/2
だから

|f(x)-b|≦|f(x)-f(1+R(n_1))|+|f(1+R(n_1))-b|<ε

x→∞ のとき, f(x) が収束する

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/01/14 22:07

lim[x→∞] f(x) が a に収束する...

すなわち、∀ε>0, ∃R>0, x>R ⇒ |f(x) - a|<ε であるならば、
任意の正数 e に対して x>R1 ⇒ |f(x) - a|<e/2,
x’>R2 ⇒ |f(x’) - a|<e/2 となる正数 R1,R2 が存在するから、
∀e>0, x,x’>max{R1,R2} ⇒ |f(x) - f(x’)|≦|f(x) - a|+|f(x’) - a|<e が成り立つ。
よって、∀e>0, ∃R>0, x,x’>R ⇒ |f(x) - f(x’)|<e である。

逆に、∀e>0, ∃R>0, x,x’>R ⇒ |f(x) - f(x’)|<e が成り立つとき、
lim[n→∞] x[n] = ∞ となる実数列 x[n] をひとつとれば
仮定より f(x[n]) はコーシー列となり、
実数の完備性より lim[n→∞] f(x[n]) は収束する。その極限を a とする。
x[n] は lim[n→∞] x[n] = ∞ となる任意の数列でよいので、
lim[x→∞] f(x) は a に収束する。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/01/14 21:15

できない。

　f(x)=1
は収束するが
　|f(x) f(x')| =1
で条件を満たさない。

ただ、
　f(x) → 0
の時は成り立つのは自明(のような気がする)。