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確率について詳しい方にお聞きしたいのですが、
0~36までのルーレットで、1が出現した後に、再び1が出現する確率は、1/37で変わらない、『直前にどんな目が出ようとも、次に出る目に影響を及ぼすことは無い』ということはわかるのですが、1が2回連続で出現するのと、50回連続で出現するのとでは、後者の方が圧倒的に起こりにくい事象のように思えるのですが、これは錯覚でしょうか?

ルーレットを延々と回していって、『1が2回連続出現』と、『1が50回連続出現』の回数をチェックした場合、『1が2回連続出現』という事象の方が、回数としては多くなるのでは、と想像するのですが、『直前にどんな目が出ようとも、次に出る目に影響を及ぼすことは無い』ということを考えると、やはり錯覚かなと思うのですが、どうも釈然としないのです。

確率論で考えた場合、どのようなことになるでしょうか?
おわかりになる方がおられましたら、どうぞ宜しくお願い致します。

A 回答 (7件)

下記の、



『1が1回出現』1/37
『1が2回連続出現』(1/37)^2
『1が50回連続出現』(1/37)^50

は、それぞれ1つの事象として捉え、
確率は別々に計算されます。

またこれらの事象は、おっしゃるとおり、
『直前にどんな目が出ようとも、次に出る目に影響を及ぼすことは無い』ですので、
上で挙げた3つの事象は、いつでも、上の確率で計算されます。
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この回答へのお礼

お答え頂き、ありがとうございました。

>『直前にどんな目が出ようとも、次に出る目に影響を及ぼすことは無い』ですので、上で挙げた3つの事象は、いつでも、上の確率で計算されます。

非常にわかり易かったです。なるほどと思えました。
どうもありがとうございました。

お礼日時:2005/05/07 14:39

まず、ルーレットは、1~36 の他に、0 と 00 があるので、1/38 ですね。



確率が変わらないのは次の二つの状況での1の出る確率です。

1.直前に2が出た場合
2.直前まで、1が49回続けていた場合

影響しないというのは確率では「独立」と呼ばれますが、要はルーレットの目は過去の出目に対する一回の試行が「独立」という事です。

複数回組み合わせた結果に対する確率は、質問者のおっしゃるとおり、50回続けて1が出る確率の方が圧倒的に少ないです。
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この回答へのお礼

お答え頂き、ありがとうございました。
「ルーレットの目は過去の出目に影響されない」ということと「複数回組み合わせた結果に対する確率」は
別々に考えるべき事、ということが自分の中で理解できました。
そのあたりがもやもやっとしていたので。どうもありがとうございました。

お礼日時:2005/05/07 14:57

> 『1が2回連続出現』と、『1が50回連続出現』の回数をチェックした場合、『1が2回連続出現』という事象の方が、回数としては多くなるのでは、と想像する..



ご想像の通りYesです。

次のように考えてみてはどうでしょう?(説明が長くてスミマセンが)

ルーレットを50回回していった時に、

 1→1→1→1→・・・ と50回全部「1」

 2→2→2→2→・・・ と50回全部「2」

 1→2→1→2→・・・ と50回全部「1→2」の繰り返し

 3→1→4→1→・・・ と円周率の50桁分の数字

の出現する確率は全て等しく、どれも(1/37)の50乗です。"50回全部1"に限らず、たった一通りしかない特定の数字の並びになる確率はみんな同じです。一方、ルーレットを50回回していった時に『1が2回連続出現』する事象を考えてみると、

 2→2→・・・→2→1→1→2→・・・ 

 3→3→・・・→3→1→1→3→・・・ 

 4→4→・・・→4→1→1→4→・・・ 

 2→2→・・・→2→1→1→2→・・・ 

でも、いきなり、

 1→1→2→2→・・・

 1→1→3→3→・・・

 1→1→4→4→・・・

でも、50回試行のうちに1回でなくて、2回でも3回でも、

 2→2→・・・→2→1→1→2→・・・→2→1→1→2→・・・ 

 3→3→・・・→3→1→1→3→・・・→3→1→1→3→・・・ 

のように数多くの組合せがあり得ます。そこで、『1が2回連続出現』する確率は、これら「1回でも『1が2回連続出現』する」事象全体の合計になります。だから、当然『1が2回連続出現』する確率は『1が50回連続出現』する確率よりもはるかに大きくなります。


『1が(ちょうど)50回(だけ)連続出現』という事象は、

(A1) まず、「1」以外が出現
(A2) それから「1」が"49回"連続出現
(A3) "50回目"も「1」が出現
(A4) "51回目"は「1」以外が出現

ということですね。このことから、『1が(ちょうど)50回(だけ)連続出現』する確率は、(A1)の確率×(A2)の確率×(A3)の確率×(A4)の確率、というように考えることができます。一方、『1が(ちょうど)2回(だけ)連続出現』する事象は、

(B1) まず、「1」以外が出現
(B2) 次に「1」が"1回"出現
(B3) "2回目"も「1」が出現
(B4) "3回目"は「1」以外が出現

ということで、『1が(ちょうど)2回(だけ)連続出現』する確率は同様に、(B1)の確率×(B2)の確率×(B3)の確率×(B4)の確率、というように考えることができます。ここで、『直前にどんな目が出ようとも、次に出る目に影響を及ぼすことは無い』というのは、単に、この中の"(A3)の確率"と"(B3)の確率"が同じであるということを言っているにすぎないのです。"(A1)の確率"と"(B1)の確率"や"(A4)の確率"と"(B4)の確率"は当然同じですから、『1が50回連続出現』する確率と『1が2回連続出現』する確率の違いは、結局、"(A2)の確率"と"(B2)の確率"の違いであることが分かりますね。
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この回答へのお礼

事細かに解説して頂いて、ありがとうございました。
「説明が長い」なんてそんなことありません。
非常に面白かったです。少しずつ、納得しながら読んでいきました。
どうもありがとうございました。

お礼日時:2005/05/07 14:49

1回目に1に当たる確率は 1/37


2回目に1に当たる確率は 1/37
n回目に1が当たる確率は 1/37

連続2回1が当たる確率は 1/(37^2)
連続n回1が当たる確率は 1/(37^n)

次に当たる目に影響がないのは、その回のみの話です。

連続と言っているのだから、その回以前のことも考慮しなくてはいけません。
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この回答へのお礼

お答え頂き、ありがとうございました。
「次に当たる目に影響がないのは、その回のみの話です」という点が確認できたので、すっきりしました。
どうもありがとうございました。

お礼日時:2005/05/07 14:35

錯覚ではありません。


1が2回連続で出現する確率 (1/37)^2  (1/37の2乗)
1が50回連続で出現する確率 (1/37)^50 (1/37の50乗)
です。
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この回答へのお礼

お答え頂き、どうもありがとうございました。
「錯覚ではない」ということが確認できたのでよかったです。気持ちのモヤモヤが消えました。
ありがとうございました。

お礼日時:2005/05/07 14:32

0~36があるルーレットで、1が出る確率は過去にどのような数字が出ていても、常に1/37です。

(もちろん、偏りなどのないルーレットでの話しです)

でも、1が2回続けて出る確率と50回続けて出る確率とでは、圧倒的に1が2回の方が多いです。
1が2回続けて出る確率は、
 1/37 * 1/37 => 1/1369
1が50回続けて出る確率は、
 (1/37) * (1/37) * (1/37) ・・・・
で、
 (1/37)^50 => 3.89E-79
になります。ありえない、といっても良い確率ですね。

但し、1が49回続けて出た後であっても、その次に1が出る確率はやはり 1/37です。 
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この回答へのお礼

お答え頂き、ありがとうございました。
「1が連続して出現する確率」と「1が49回続けて出た後であっても、その次に1が出る確率はやはり1/37」ということが別のものだということが理解できました。
どうもありがとうございました。

お礼日時:2005/05/07 14:27

複雑に考え過ぎで、当然2回連続と50回連続なら「50回連続の方が可能性は低い」です。

(2回連続は1/37の2乗、50回連続は1/37の50乗です。)
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この回答へのお礼

お答え頂き、ありがとうございました。
単純明快に説明して頂けて、理解できました。
気分もすっきりしました!

お礼日時:2005/05/07 14:29

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> 10回赤が、続いたのであれば、例えば、さらに次の3回を考えると
> 黒が全くでないのは、1/8。一回でも出るのは、7/8となります。
「10回赤が、続いたのであれば、」の部分は過去の事象で未来には関係ないのですが、そこは現在無視すれば、この説は全く正しい。

> ですから、次から黒→黒→黒とすれば、どこかで当たる確率は、7/8です。赤赤赤といくよりも7倍可能性が高いのです。
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No. 1, No. 4, No. 6 の giliolajp さん、勘違いしてます。
> 10回赤が、続いたのであれば、例えば、さらに次の3回を考えると
> 黒が全くでないのは、1/8。一回でも出るのは、7/8となります。
「10回赤が、続いたのであれば、」の部分は過去の事象で未来には関係ないのですが、そこは現在無視すれば、この説は全く正しい。

> ですから、次から黒→黒→黒とすれば、どこかで当たる確率は、7/8です。赤赤赤といくよりも7倍可能性が高いのです。
これも正しいけど、黒→黒→黒と賭けて、赤→赤→黒と...続きを読む

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