X軸上のX=l/2およびX=－l/2の点に、それぞれ+Qおよび－Qクーロンの電荷がある時の付近の電位

X軸上のX=l/2およびX=－l/2の点に、それぞれ+Qおよび－Qクーロンの電荷がある時の付近の電位を求めよ。また、rを原点からの距離とすれば、r>>lの時は、この電位はQlX/(4πεr^3)となることを示せ。という問題があり、
答にQ/4πε((1/√(X－l/2)^2+Y^2+Z^2)－(1/√(X+l/2)^2+Y^2+Z^2))とあるんですが、まず答えの電位にY軸Z軸があるのがよく分かりませんし、仮にある点(X、Y、Z)の電位を求めているんだなと納得したとして、そのあとの証明に関しては本当に意味が分かりません。

質問者からの補足コメント

• できれば後半の証明のほうを解説していただきたいです。

    補足日時：2024/02/18 21:14

• r>>lの条件を出されたあとの証明が特に分かりません。前半の電位は求められてます。

    補足日時：2024/02/19 06:50

• これって近似しなきゃいけない気がするんですが、何をどう近似すればいいと思いますか。できれば、教えてほしいです。

    補足日時：2024/02/19 08:33

No.7 回答者： stomachman 回答日時： 2024/02/19 13:31

テイラー展開は知らんですか。

t≒0 のとき √(1 + t) ≒ 1 + t/2, 1/(1 + t) ≒ 1 - t

No.6 回答者： stomachman 回答日時： 2024/02/19 09:22

l＞0でありr>>l なのだから、l/r≒0

この回答へのお礼

度々すいません。l/r≒0を適用すると、√の中身がr^2だけになって電位が0になってしまいます。

お礼日時：2024/02/19 09:31

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2024/02/19 08:52

> これって近似しなきゃいけない気がする

当たり前。
答が分かっているんだから、あとは、何をどう近似すりゃその答に行き着くかを考えればいいだけです。

この回答へのお礼

とりあえず、r^2=X^2+Y^2+Z^2から、Y^2+Z^2=r^2－X^2と変形し、求めた電位に代入して、YとZの文字を消すことには成功しました。しかし、√の中身はr^2+l^2/4－lXとなり、この式を近似できる気がしません。どうすればいいんでしょうか…

お礼日時：2024/02/19 09:07

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2024/02/19 08:02

>答えの式にはrは入っていません

いやいや、

> rを原点からの距離とすれば

だから、rはX,Y,Zで表せるでしょうよ。

この回答へのお礼

r=√X^2+Y^2+Z^2ということですか？

お礼日時：2024/02/19 08:07

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2024/02/18 22:49

> そのあとの

「通分」って知ってます？

この回答へのお礼

なんの式を通分するんでしょうか…
答えの式にはrは入っていませんし、電位の式を求めるのにrって入らないような気がしてしまいます。

お礼日時：2024/02/18 23:04

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2024/02/18 22:16

X=l/2にあるQによって生じる電位と、X=-l/2にある-Qによって生じる電位の足し算。

単にそれだけです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。それで答えが出てくるところまでは分かりました。そのあとの「r>>lの時は」以降のQlX/(4πεr^3)を示すのも電位の足し算の考えだけで解けますか？

お礼日時：2024/02/18 22:42