赤玉3個と白玉7個の10個を一列に並べるとき、赤玉の先頭が偶数番目に並ぶ並び方の数を、場合に分けて足

赤玉3個と白玉7個の10個を一列に並べるとき、赤玉の先頭が偶数番目に並ぶ並び方の数を、場合に分けて足さないで一気に求めるうまい考え方があったら教えてください。

質問者からの補足コメント

• 場合に分けてとは、先頭が2番目のとき何通り、…、8番目のとき何通りとやるやり方です。その他の場合分けは歓迎します。

    補足日時：2024/02/21 17:12

• 全部で2n個のときは n(n-1)(4n-5)/6 通りとなるので、この式に見合った考え方があるのではないかと思いました。

    補足日時：2024/02/21 17:32

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/02/24 22:44

悩んでるより、サクッと場合分けすれば簡単やん。

先頭２個の玉の色で４通りに場合分けすれば、
玉が2n個のときの並べ方の数 a[n] が漸化式
a[n+1] = a[n] + (2n)C2 + 0 + 0 を満たすことが判って、
a[n] = a[2] + Σ[k=2...n-1] (2k)C2
　　= 1 + Σ[k=2...n-1] (2k)(2k-1)/2
　　= 1 + Σ[k=2...n-1] (2k^2 - k).
この Σ の計算は、簡単でしょ。

この回答へのお礼

回答をいただきありがとうございます。もちろんサクッと求めたのですが、何かうまい考えがあるかと思い質問しました。

お礼日時：2024/02/25 11:39

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/02/21 20:28

総数を 2n, 赤の数を 3とすると

2n-2C2 + 2n-4C2 + ・・・ + 2C2
= {1・2 + 2・３+ ・・・ + (2n-3)(2n-2)}/2
から一般式を作るのはそう難しくないと思うけど
それと場合分けを省けることとは別だと思う。

ちょっと思いつかない。

この回答へのお礼

回答いただきありがとうございます。もちろんそのようにして求めました。

お礼日時：2024/02/25 11:42

No.3 回答者： housyasei-usagi 回答日時： 2024/02/21 19:16

違う、10C3。

No.2 回答者： housyasei-usagi 回答日時： 2024/02/21 19:14

5C3÷10P3でいいような気がする。

検証今出来ないので。

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/02/21 17:18

赤同士の区別、白同士の区別を行わないとして、

いっきは難しいな。思いつかない

白赤ＸＸＸＸＸＸＸＸ 8C2 = 28
白白白赤ＸＸＸＸＸＸ 6C2 = 15
白白白白白赤ＸＸＸＸ 4C2 = 6
白白白白白白白赤ＸＸ 2C2 = 1

50個