高校1年生 数学 A(6,0)とする。点Qが円 (x-3)^2 + (y-6)^2 = 9 上を動く

高校1年生 数学

A(6,0)とする。点Qが円 (x-3)^2 + (y-6)^2 = 9 上を動くとき、三角形AOQの重心Pの軌跡を求めよ。

この問題を解いてるときに除くべき点を最後に書こうと思ったら、解答にはPの軌跡である円の中心と半径のみ書いてありそもそも除外すべき点はありませんでした。
円の軌跡の問題において除くべき点がある場合の見分け方って何かありますか？
そもそもAO上にQが来なければ調べなくても良いってことでしょうか、それにしたってQがそこに来るか来ないかどうしたら判別出来るのかわかりません(；；)
こんがらがってしまってわからないので、どなたか助けてください(；；)

No.4 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/02/24 14:55

＞ そもそもAO上にQが来なければ調べなくても良いってことでしょうか

そのとおり。
AO上にQが来る ⇔ △AOQが存在しない ⇔ その重心Pが存在しない
だからね。 AO上にQが来ないかどうかを調べればいい。
そんなことが起こらないことは、Q が描く円と A を図示してみれば
明らかになる。

この回答へのお礼

図示したら確かに重なりませんでした！！わかりました！！ありがとうございます！！

お礼日時：2024/02/24 18:07

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/02/24 05:52

点Q(x,y)が円

(x-3)^2+(y-6)^2=9
上の点だから
x-3=3cosθ
y-6=3sinθ
となるθがあるから
Q(x,y)=(3+3cosθ,6+3sinθ)
-------------
x↑OA+y↑OQ=0 とすると
↓↑OA=(6,0),↑OQ=(3+3cosθ,6+3sinθ)だから
x(6,0)+y(3+3cosθ,6+3sinθ)=0

6x+3y(1+cosθ)=0…(1)
3y(2+sinθ)=0
2+sinθ>0だから
y=0
↓これを(1)に代入すると
x=0

↑OAと↑OQは線形独立だから
AO上にQが来ることはないから
除外点はない
------------
P
=(x,y)
=(A+O+Q)/3
=(A+Q)/3
={(6,0)+(3+3cosθ,6+3sinθ)}/3
=((9+3cosθ)/3,(6+3sinθ)/3)
=(3+cosθ,2+sinθ)

x=3+cosθ
y=2+sinθ

(x-3)^2+(y-2)^2=1
中心(3,2)半径1の円

この回答へのお礼

細かい式までありがとうございます！！
サインとか使って求めることも出来るんですね学びになりました！！ありがとうございました！

お礼日時：2024/02/24 18:08

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2024/02/23 23:20

> AO上にQが来

た場合は、AOQが三角形ではなくなり重心もへったくれもないから、除外しなきゃいけない、ということに気づいたのは素晴らしい。

　こと、この問題に限れば、Aと円をxy平面にプロットしてみれば、「AO上にQが来」るなんてことが生じないのは明らかですけれど…

　これをキッチリかつ機械的にやろうと思うなら、「Qの軌跡である円と、AとOを通る直線との交点はどこか」と問えばいいんです。（もちろん、その交点にQがあるということと、AOQが三角形ではなくなるということとは同値だからです。）
　この問いを解くために式を立ててみれば、二次方程式の問題になっている。で、もし実数解がなければ「AOQはいつでも三角形だ」と「判別出来る」し、実数解があれば、その点で「AOQは三角形にならない」と「判別出来る」。

この回答へのお礼

交点を求めれば確かにわかりますね…そこで無ければ除くべき点も無いってことですね！とてもわかりやすい回答ありがとうございました！

お礼日時：2024/02/24 18:10

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/02/23 22:54

重心(u,v)の座標は

　u=(x+6+0)/3 → x=3u-6
　v=(y+0+0)/3 → y=3v

したがって
　(x-3)²+(y-6)²=9 → (3u-9)²+(3v-6)²=9
→ (u-3)²+(v-2)²=1

(3,2)を中心とする、半径1の円

この回答へのお礼

簡潔的でとてもわかりやすかったです！ありがとうございました！

お礼日時：2024/02/24 18:09