数学II 二次方程式の因数分解 ax^2+bx+c=a(x-α)(x-β) 2数α、βに対してp=α

数学II

二次方程式の因数分解
ax^2+bx+c=a(x-α)(x-β)
2数α、βに対してp=α+β、q=αβとするとα、βを解とする二次方程式の1つはx^2-px+q=0
という2つがなぜそう言い切れるのかよくわからないので教えてください。お願いします。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/03/04 08:49

(x-α)(x-β) = x^2 - (α+β)x + αβ

これと
x^2 - px + q
を係数比較すれば明らか。

No.4 回答者： sorewasennsei 回答日時： 2024/03/03 12:15

先の回答に付け加えます。

2次式の表し方には色々ありすべてを覚えておく必要があります。が既に学んでいるので知識の整理です。
①ax²+bx+c
②a(x-α)(x-β)=ax²-a(α+β)x+aαβ=a(x²-px+q)[解と係数の関係-ap=b,aq=c]
③a(x+d)²+e=ax²+2adx+(ad²+e)[ここでd=b/2a,e=c-b²/4aが標準形です。]
a(x+b/2a)²+(c-b²/4a)=a{(x+b/2a)²-(b²-4ac)/4a²}
=a[(x+b/2a)²-{√(b²-4ac)/2a}²]=A²-B²=(A-B)(A+B)
として解の公式まであと少し変形が必要

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2024/03/01 21:02

普通に 代入したら 分かると思いますよ。

x²-px+q=0 で P=α+β , q=αβ ならば、
x²-(α+β)x+αβ=0 ですね。
これを 因数分解すれば、
(x-α)(x-β)=0 となりますね。
両辺に a を掛ければ、a(x-α)(x-β)=0 ですから、
ax²+bx+c=0 → a(x-α)(x-β)=0 → (x-α)(x-β)=0 。

No.2 回答者： finalbento 回答日時： 2024/03/01 15:41

細かい話ですが「二次方程式」は因数分解できません。

因数分解できるのは「二次式」です。繰り返します。「二次方程式」ではなくて「二次式」です。

(大事な事なので二回書きました)

本題に入ると

x^2-px+q=0

と言う方程式の左辺にpとqの定義を代入すれば

x^2-(α+β)x+αβ

となりますが、これって

x^2-(α+β)x+αβ

=(x-α)(x-β)

と言う因数分解の公式そのものですよね。後は分かるでしょう。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/03/01 15:33

＞ax^2+bx+c=a(x-α)(x-β)　　　　①

を実際に展開してみれば分かる。

a(x - α)(x - β) = a(x^2 - αx - βx + αβ)
　　　　　　　= a[x^2 - (α + β)x + αβ]　　　　②

だからね。
②は a≠0 であれば
　(x - α)(x - β) = x^2 - (α + β)x + αβ　　　　③
と書いても同じ。

x^2 - (α + β)x + αβ = 0
が成り立つなら
(x - α)(x - β) = 0
ということだから、その解は
　x = α, β
ということになる。

そのとき、①は
　ax^2 + bx + c = a(x - α)(x - β)
とかけて
　b = a(α + β)
　c = aαβ
ということになる。