松坂和夫著「集合・位相入門」岩波書店1968 第103ページ D)整列集合の比較定理 の定理４の証明

p.103に定理４（比較定理）が述べられており、その証明が続いて記述されています。
この証明に関する質問です。
この証明の中でP.104の3行目から以下の記述があります；
「そのために、Wの元xとW’の元x'で
(*) 　　　　　　　　 W<x>≃W<x'>
という関係を満たすような組を考える。・・・」
これに関して私の質問は以下のものです；
W,W’が共に整列集合で互いに順序同型ならば、P.102補題４より、あるx∈Wに対してかならず(*)を満足するx'∈W'が存在することが保証されています。しかしこの証明のこの段階ではW,W’は整列集合ではあるが順序同型とは規定されていません。それなのに(*)式を満足するx,x'が必ず存在することが前提とされています。なぜ必ず存在することを前提とできるのですか？

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/03/09 20:30

「

W,W’が共に整列集合で互いに順序同型ならば、
あるx∈Wに対してかならず(*)を満足するx'∈W'が存在する
」
という表現は正しくありません
「
W,W’が共に整列集合ならば
順序同型でなくても
ある特定の元(最小元)x∈Wに対してかならず(*)を満足する(最小元)x'∈W'が存在するけれども
W,W’が順序同型ならば、
すべてのx∈Wに対してかならず(*)を満足するx'∈W'が存在する
」
とすべき

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/03/07 23:27

証明の極一部の行を取り出して、そこの行の意味を聞かれたって、

そんな質問は無理としか言えない。
特に今回は、「満たすような組を考える」という、非標準的な語が使われた
文を短文で引っ張ってきているので、その「考える」ってのが
どういう了見で書かれた言葉で、証明の中でどんな意味を持っているかは、
証明を通しで読まなければ誰にも解りようがない。
なんだか解ったような回答をしている者がいるが、その人が
出典を読んだ上で書いているのかどうかは、ちゃんと確認したほうがいい。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/03/07 15:53

Wは整列集合だからWの最小元xが存在し、W<x>=φ

W'は整列集合だからW'の最小元x'が存在し、W'<x'>=φ
∴
W<x>=φ=W<x'>
∴
(*)式を満足するx,x'が必ず存在する

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/03/07 11:27

「そのために、Wの元xとW’の元x'で

(*) 　　　　　　　　 W<x>≃W<x'>
という関係を満たすような組を考える。」
というのは
仮定であって、
(*)式を満足するx,x'が必ず存在する事をいっているのではありません
(*)式を満足するx,x'があったと仮定するという意味です

Wの元xで、それに対し(*)を満たすx'∈W'が存在するようなもの全体の集合をJとし
J={x∈W|∃x',s.t.W<x>≃W<x'>}

W'の元x'で、それに対し(*)を満たすx∈Wが存在するようなもの全体の集合をJ'とし
J'={x'∈W'|∃x,s.t.W<x>≃W<x'>}

だから
(*)式を満足するx,が存在しなければJ=φ
(*)式を満足するx'が存在しなければJ'=φ
となります