数学 剰余の定理

この問題があって1枚目の参考のところにR(x)=a(2x+1)+4とおけるのですがなぜaと置けるのでしょうか？その下にR(x)を(2x+1)で割った時の商と書いてるのですがR(x)が正確に明記されてない気がしてなぜaになるかわからないです、
非常識な質問すみません。よければ誰か教えてくれると助かります

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/03/20 13:00

あまりは、割る数より次数が低いから

f(x)を二次式で割った余りであるR(x)は一次以下
これを踏まえて、R(x)を2x+1で割る事を考える
割られる数＝商×割る数+余り…公式
に当てはめると
R(x)＝商×(2x+1)+4…①
R(x)、商共に不明だから、商は例えば3x+2みたいな具体的な式に表す事はできないけれども①の左辺が一次以下とわかっているので
商は一次以上にはなり得ないわけです
(商が一次式なら①右辺は二次式になるし、商が二次式なら①右辺は…となるので、商は定数である事は確定)
ゆえに、不明な定数である商はaとおけるわけです

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2024/03/20 12:35

No.1 です。

「解説」に書いてある方法では

　R(x) = A(2x + 1) + 4　　　①
　R(x) = B(2x - 1) + 6　　　②

と書けるということです。（上の ax + b と区別するために A, B を使いました）

①②は等しいので
　2Ax + A + 4 = 2Bx - B + 6
これが恒等的に成り立つには
　2A = 2B　→　A = B　　　③
　A + 4 = -B + 6
　これに③を代入すれば
　　2B = 2　→　B = 1
　③より
　　A = 1
となって、①または②より
　R(x) = 2x + 5
と求まります。

つまり
　R(x) = A(2x + 1) + 4
と置いたときの「A」と「求める余りを ax + b と置いた」ときの 「a」は
　2A = a
の関係になっているということです。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/03/20 12:26

＞R(x)=a(2x+1)+4とおけるのですがなぜaと置けるのでしょうか？

置いているというよりも、「何らかの整数を a として」という意味でしょう。

「f(x) は (2x + 1) で割ると４あまる」のだから、「R(x) は (2x + 1) で割ると４あまる」ことになって、そう書けるという程度の意味です。

上に書いてある「求める余りは ax + b とおけるので」の「a」とは関係ありません。
そこを何か勘違いしていませんか？