写真の問題の(3)のコが全く分かりません 解説お願い致します。

写真の問題の(3)のコが全く分かりません

解説お願い致します。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/03/31 15:12

g(t)=t+2√{3(t+2)}はθ=π/3のとき最小値-2をとるのだから

g(t)=aを満たすθが2個存在するとすると
-2<a
1個のsに対し,1個のθが存在するから
g(t)=aを満たすsが2個存在する

g(t)=a
↓g(t)=t+2√{3(t+2)}だから
t+2√{3(t+2)}=a
↓t=s^2-2だから
s^2-2+(2√3)|s|=a
(|s|+√3)^2-5=a
↓両辺に5を加えると
(|s|+√3)^2=a+5
↓両辺を(1/2)乗すると0<|s|+√3だから
|s|+√3=√(a+5)
↓両辺から√3を引くと
|s|=√(a+5)-√3

g(t)=aを満たすsは

s=√(a+5)-√3
s=√3-√(a+5)

↓-√3≦sだから

-√3≦√3-√(a+5)
↓両辺に√(a+5)+√3を加えると
√(a+5)≦2√3
↓両辺を2乗すると
a+5≦12
↓両辺から5を引くと
a≦7
↓-2<aだから
∴
-2<a≦7

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2024/03/28 17:57

「ク」「ケ」まではできたのですね？

ということは、「イ」で s のとりうる範囲は
　-√3 ≦ s ≦ (√2 + √6)/2
で、この範囲では s と θ は１対１に対応することは分かっていますね。

かつ、「ク」「ケ」では
0 ≦ s ≦ (√2 + √6)/2 のとき
　g(t) = s^2 + (2√3)s - 2　　　　①
　　　= (s + √3)^2 - 5
で単調増加、
-√3 ≦ s ≦ 0 のとき
　g(t) = s^2 - (2√3)s - 2　　　　②
　　= (s - √3)^2 - 5
で単調減少ということも分かっていますね。

ということで、
「g(t) = a を満たす θ が２つ存在する」
とは
「g(t) = a を満たす s が２つ存在する」
ということは、
　y = g(t)
と
　y = a
が「異なる２点で交わる」ということであり、それは
「①の範囲で１点、②の範囲で１点」
の交点をもつということになります。
そのためには、a は①②の最小値よりも大きく（イコールだと重解になるので等号は含まない）、①の最大値と②の最大値のいずれか小さい方以下、ということになります。

①②の最小値は、「ケ」で求めた -2 です。
（①の最小値であり、かつ②の最小値であることを確認しましたよね？）

①の最大値は s=(√2 + √6)/2 のときで
　[(√2 + √6)/2]^2 + (2√3)(√2 + √6)/2 - 2
= 3√2 + √3 + √6　　　　　③
②の最大値は s=-√3 のときで
　 [-√3]^2 - 2(√3)(-√3) - 2
= 3 + 6 - 2
= 7　　　　　　　　④

③と④のどちらが大きいかといえば
　③^2 = (3√2 + √3 + √6)^2
= 18 + 3 + 6 + 6√6 + 4√2 + 6√3
= 27 + 6√6 + 4√2 + 6√3
> 27 + 12 + 4 + 6 = 49 = 7^2 = ④^2
なので
　③ > ④

従って、求める a の範囲は
　-2 < a ≦ 7

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2024/03/27 18:55

ｔ＝-2sin(2θ-π/6)と書ける。

すると
θが0から3/4π動くと2θ-π/6は -π/6から4/3πまで動くから
ｔはｔ＝1から始まって -2まで下がり再び1まで上がってさらに
√3まで上がる。なのでθの運動に対してｔは-2から1の間を2回通る。
一方、ｇ(t)は微分したらわかるようにｇ(-2)＝-2から始まって
ｔの増加に対して単調に増加する。したがってｇ(t)はθの運動に対して
ｇ(1)＝7から始まり、g(-2)＝-2まで下がって再びｇ(1)＝7まで上がって
さらにｇ(√3)まで上がる。したがって答は表示の通りです。