文字を含む三角関数の定積分の問題で理解できないところがあります

添付した問題なのですが、m=nの時とそうでない時で場合分けをしています。
これは普通に計算を進めると分母にm-nが出てくるためだと思うのですが、m=nの時計算すると解答は「I=oになり、このときM+Nは偶数である」としているのですが、これが理解できません。
問題文では、与えられた式がm+nが偶数の時は0になり、m+nが奇数の時は2m/m^2-n2となることを証明しろと言っています。にもかかわらず、m-n=0の前提で計算すると0になるので偶数であるとは順序が逆になっていないでしょうか？なぜこんな頓珍漢なことをやっているのかを教えてください。

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/04 17:19

m=n のとき

↓両辺にnを加えると
m+n=2n
↓2nは偶数だから
∴
m+nは偶数である

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/04/03 13:58

No.3 No.4 つづき：

要するに、
＞ m-n=0の前提で計算すると0になるので偶数であるとは順序が逆になって
いるという指摘は、正しいです。

m-n=0 前提で計算すると I=0 かつ m+n が偶数であることから
m+n が偶数であるとき I=0 だと言えるわけではありません。

それよりも、[1]①②[2]全て見た結果
m+n が偶数かつ I≠0 という状況が生じてないことが確認できたから
m+n が偶数のときは I=0 だと言えた...という話の流れです。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/03 10:34

m=n のとき

m=n
↓両辺にnを加えると
m+n=2n
↓2nは偶数だから
∴
m+nは偶数である

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/04/03 08:59

あ、いかん。

[1] m-n≠0 のとき、
　　① m+n が偶数ならば I=0,
　　② m+n が奇数ならば I=2m/(m^2-n^2).

[2]だけでなく[1]②が効いて...
ですね。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/04/03 08:23

そこだけ見るから、変な感じがするのです。

答案全体を見ると、
[1] m-n≠0 のとき、I=2m/(m^2-n^2) かつ m+n は奇数
[2] m-n=0 のとき、I=0 かつ m+n は偶数
と言っているので、[1][2]を合わせると
m+n が偶数のとき I=0、
m+n が奇数のとき I=2m/(m^2-n^2)
だと言えるのです。[2]だけでなく[1]の対偶が効いています。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/03 00:07

m=n のとき　m+n=2n だから　m+n は偶数である

そのとき　I=0 になる
といっているのであって
I=0になるからm+nが偶数になるのではありません

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/04/02 23:31

「I=0 だから m+n が偶数だ」とはいっていないのだよ.

単に「m=n のときは I=0 で, かつ m+n は偶数だ」といっているにすぎない.