数学I 下図の平行四辺形ABCDはAB=4 BC=CA=6を満たしている。2つの対角線の交点をO,辺

数学I

下図の平行四辺形ABCDはAB=4 BC=CA=6を満たしている。2つの対角線の交点をO,辺BC,辺CDの中点をそれぞれM,Nとし、AMとBD, ANとBDの交点をそれぞれ,G,Fとする。

三角形AGFと平行四辺形ABCDの面積比を求めよ。

という問題の解説には、平行四辺形ABCDの面積をxとおくと
三角形AGF：平行四辺形ABCD
=(GF/BD × x/2)：xとなっていました。
なぜ三角形AGFの面積はGF/BD × x/2となるんですか？

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/09 21:06

△AGFの底辺を|GF|としたときの高さをhとすると

△AGFの面積は
|△AGF|=|GF|×h/2…(1)

△ABDの底辺を|BD|としたときの高さもhとなり
△ABDの面積は
|△ABD|=|BD|×h/2…(2)

△ABDの面積は平行4辺形ABCDの面積の1/2だから
|△ABD|=x/2
↓これと(2)から
|BD|×h/2=x/2
↓両辺に 2/|BD| をかけると
h=x/|BD|
↓これを(1)に代入すると

|△AGF|
=|GF|×x/2 /|BD|
=(|GF|/|BD|)×(x/2)

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/04/09 20:32

三角形ABDと三角形AGFは高さが共通なので、面積の比は底辺の比と等しくなります

→△ABD:△AGF＝BD:GF
↔△ABD/△AGF＝BD/GF
↔△AGF＝(GF/BD)・△ABD
つまり、△AGFは△ABDのGF/BD倍です…1
また、△ABD合同△BDCなので
△ABD＝(1/2)×平行四辺形の面積
つまり、△ABDはxの1/2倍…2
1、2から
△AGFは
xの1/2倍のGF/BD倍
↔△AGF＝(GF/BD)・(x/2)です
このことから
面積比が
△AGF:平行四辺形
＝(GF/BD)・(x/2):x
となります

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/04/09 20:26

△ABD の面積は、平行四辺形ABCD の面積の 1/2。

従って、
　△ABD = x/2　　　①

△AGF の面積は、△ABD と「高さが同じ」で、「底辺の長さの比が GF/BD」なので
　△AGF ＝ △ABD × (GF/BD)　　　②
となることはよいですか？
三角形の面積は、「高さが同じなら、底辺の長さに比例」「底辺の長さが同じなら、高さに比例」しますからね。

②に①を代入したものが、お示しの式ですよね？