数学Aの整数の性質についての質問です。 割り算の余りについての よって、a+bをmで割った余りはr+

数学Aの整数の性質についての質問です。
割り算の余りについての
よって、a+bをmで割った余りはr+r’をmで割った余りに等しい。というそれがなぜ成り立つのかがいまいち理解できません。式ではmで割った余りの位置にr+r’があるのに、(というかr+r’は割ってすらいない)のに、何でそこの証明ができている風になっているのか。

とにかく、1の証明の意味がよくわからないので、詳しく教えて欲しいです。

質問者からの補足コメント

• 

  証明でされている、mで割った〜とは、m(整数)+余りの形にすることを割ったと言っているのでしょうか？
  等式変形をしているだけだと思ってたのですが、これが割り算と言っているということなのでしょうか？
  あと、余りはm(整数)+余りの形で表すならば、r+r’ですし、r-r’、rr’ですよね。
  これらが、>mという条件はないのに、r+r’(r-r’、rr’)をなぜ割った余りに等しいと割れる数だと断定してるのかも意味不明です、詳しく分かりやすく教えてください。

    補足日時：2024/05/01 22:17

• 

  もうちょっとだけ教えて欲しいです。
  a+bをmで割った余りは•••••の部分は言い換えると、
  m(q+q’)+r+r’をmで割った余りは••••ってことですよね？
  その場合、m(q+q’)だけの項を考えて、mで割った時に出てくるq+q’の値は何を示すのでしょうか？
  
  m(q+q’)+r+r’をmで割った余りは••••って、
  とりあえずmで割ってみると、q+q’ +(r+r’/m)になるじゃないですか？
  その、、余りがr+r’/mじゃないですか、、
  q+q’ってなんなんですか？一体これは。。

    補足日時：2024/05/01 23:01

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/01 15:27

いや、例えば具体的に

5 を 3 で割った余りは 2、
8 を 3 で割った余りは 2 だけど、
5+8 = 13 を 3 で割った余りは
2+2 = 4 じゃなくて
その 4 を 3 で割った余り 1 だよね。

「r+r’ を m で割った余り」の真意はそこ。

この回答へのお礼

そういうことなんですね。
なんか文字ばっかりで頭がこんがらがってたので、そう言われてはっきりしました!
ありがとうございました!

お礼日時：2024/05/01 19:12

No.2 回答者： ssawatake 回答日時： 2024/05/01 16:03

では、スッキリとする為に、

aをmで割った余りはrとは、a=m×○+rと書ける
bをmで割った余りはr'とは、b=m×□+r'と書ける

これを足すと
(a+b)=m(○+□)+(r+r')：○+□は整数

変形すると、(a+b)-(r+r')=m(○+□)
両辺をmで割ると、(a+b)/m - (r+r')/m=(○+□)

この右辺は整数だから、
(a+b)/mと(r+r')/mの小数点以下が同じ値だっていう事。

小数点以下が同じと言う意味は、商を整数とする様な計算では余りが同じだよ、と言う意味。

この回答へのお礼

ごめんなさいむずかしいです。。
ありがとうございましたm(_ _;)m

お礼日時：2024/05/01 19:24

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/01 16:03

a=mq+r

b=mq'+r'
(q,q'は整数)と表される
[1について]
r+r'をmで割った商をq"余りをr" とすると
r+r'=mq"+r"
だから

a+b
=(mq+r)+(mq'+r')
=m(q+q')+r+r'
=m(q+q')+mq"+r"
=m(q+q'+q")+r"

だから
a+bをmで割った余りは
r"
すなわち
r+r'をmで割った余り
になる

この回答へのお礼

なるほどですね。
その証明をされたほうが理解がしやすそうです。

お礼日時：2024/05/01 19:28

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/01 22:44

←補足(05/01 22:17)

あれ？ No.1 で解ったのかと思ったら、話が振り出しに戻ってる。
a を「m で割った」というのは、
a=mq+r, qは整数, 0≦r<m という形に表すこと。

q が整数であるだけじゃなく、0≦r<m であることも必要で、だから、
(mq+r) + (mq’+r’) を m で割った余りは r+r’ だとは限らない。
0≦r<m, 0≦r’<m からは 0≦r+r’<2m としか言えず、
0≦r+r’<m だとは限らないから。
...ということの例を、No.1 で示したんだけどな。

(mq+r) + (mq’+r’) = m(q+q’) + (r+r’) の後
(mq+r) + (mq’+r’) を m で割った余りを見つけるためには、
m の倍数 m(q+q’) を除去するだけじゃなく
(r+r’) を更に m で割った余りを考える必要がある。

(mq+r) - (mq’+r’) の r-r’ や
(mq+r)(mq’+r’) の rr’ も、同じこと。

この回答へのお礼

ごめんなさい。二度手間で、、

0≦r+r’<2m←これですこれ。こういうのを待ってたかもしれません、、

もう大体1日くらい経ってるので、何がわからなかったのかが鮮明じゃなくて、またわからなかったところが出てきた感じです。
あと、等式変形してるだけに見えてたのですが、それが割り算なんですね。
ありがとうございました。

お礼日時：2024/05/01 22:52

No.5 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/02 00:15

補足日時：2024/05/01 23:01について

r+r'をmで割った商をq"余りをr" とすると
r+r'=mq"+r"
0≦r"<m
だから

m(q+q')+r+r'
=m(q+q')+mq"+r"
=m(q+q'+q")+r"

を

とりあえずmで割ってみると、

q+q’ +(r+r’/m)ではなく
q+q’ +{(r+r’)/m}ではなく

q+q'+q"+(r"/m)になる

余りが(r"/m)

q+q'+q"
が
商になる

この回答へのお礼

考えるのをやめます

お礼日時：2024/05/02 00:20