行列のべき乗昨日

(a b ｄ
0 a c
0 0 a)

のような上三角行列のn乗を求めるときに、
予想して帰納的に示すと思いますけど右上の成分がわかりませんでした。どうしたら予想できますか？？

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/22 14:08

No.1 の方法でも、わりと簡単に計算できる。

E,B,C,D の乗法を表にすると、
　｜ E　B　C　D
ー＋ーーーーーーー
E ｜ E　B　C　D
B ｜ B　O　D　O
C ｜ C　O　O　O
D ｜ D　O　O　O
となる。表のあらかたが O で埋まってるので、
(aE + bB + cC + dD)^n を展開して出てくる 4^n 個の項の
ほとんどが O になって、O でないのは
[0]　(aE)^n の項。
[1]　aE が n-1 個と B,C,D のうちのどれか 1 個を掛けた項。
[2]　aE が n-２ 個と B,C を 1 個づつ掛けた項。ただし CB でなく BC となるもの。
だけに限られる。
[0] は、値が (a^n)E になるものが 1 項。
[1] は、値が (a^(n-1))bB, (a^(n-1))cC, (a^(n-1))dD になるものが nC1 項づつ。
[2] は、値が (a^(n-2))bcD になるものが nC2 項。
これらを合計すると、
(aE + bB + cC + dD)^n = (a^n)E
　　　　　　　　　　　+ { (a^(n-1))bB, (a^(n-1))cC, (a^(n-1))dD }nC1
　　　　　　　　　　　+ { (a^(n-2))bcD }nC2
= (a^n)E + (a^(n-1))bnB + (a^(n-1))cnC
　+ { (a^(n-1))dn + (a^(n-2))bcn(n-1)/2 }D.

x(n) は D の係数だから、
x(n) = (a^(n-1))dn + (a^(n-2))bcn(n-1)/2.

この回答へのお礼

ありがとうございます。でもこれはお茶女の過去問なんですけど、試験本番にこれでできるかなって思って押し通すのは勇気がちょっといると思います。

お礼日時：2024/05/22 21:03

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/18 14:19

＞ x(n) = d・a^(n-1) + c・(n-1)ba^(n-1) + ax(n-1)

＞ この漸化式はかんたんにとけますか？

a = 0 なら、漸化式へ a を代入して直ちに
x(1) = d,
n ≧ 2 のとき x(n) = 0.
となって簡単。

a ≠ 0 なら、 y(n) = x(n)/a^n と置いて
y(n) = d/a + (cb/a)(n-1) + y(n-1)
となるので、
y(n) = y(0) + Σ[k=1..n]{ d/a + (cb/a)(k-1) }
　　= 0 + Σ[k=1..n]{ (d/a - cb/a) + (cb/a)k }
　　= (d/a - cb/a)n + (cb/a)n(n+1)/2,
x(n) = y(n)・a^n = { (d - bc)n + (bc/2)n(n+1) }a^(n-1).

この回答へのお礼

なんでそんなにあたまいいんですか？？？

お礼日時：2024/05/22 21:00

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/18 13:18

E =

(1 0 0
0 1 0
0 0 1),
B =
(0 1 0
0 0 0
0 0 0),
C =
(0 0 0
0 0 1
0 0 0),
D =
(0 0 1
0 0 0
0 0 0)
と置くと、

M =
(a b d
0 a c
0 0 a)
は、
M = aE + bB + cC + dD
と書けますね。

M^ｎ = (aE + bB + cC + dD)^n
と見て、右辺を多項定理で展開するときに
B,C,D の積(６種類ある)がどうなるかを考えれば、
M^n の答えがわかるでしょう。

まずは、積 BC,BD, CB, CD, DB, DC を計算して
成分を書き出してみましょう。

この回答へのお礼

ありがとうございます。面白い発想だと思うけど、n で表すことは現じつてきでないとおもいます。私は、
右上の成分以外は手を動かしてみるとすぐに分かると思うので
x(n) = d・a^(n-1) + c・(n-1)ba^(n-1)+ax(n-1)
のような漸化式をたてましたけど、そこからわかりません。
この漸化式はかんたんにとけますか？？

お礼日時：2024/05/18 13:48