数学 微分について

d/dy {f(x)} =d/dx {f(x)} × dx/dy
(f(x)をyで微分したもの　と　f(x)をxで微分したものにxをyで微分したものをかけたもの　が等しい)
これはなぜ成り立つのでしょうか？
大学一年生時点で理解できる証明などありますか？
高校数学時点ではこれはこういうものだと覚えさせられたのですが…

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/06/17 18:07

これは

z = f(x)
x = g(y)
と定義されているとき
dz/dyを求めよという話ですよね。
x = g(y)
x + Δx = g(y+Δy)

{f(x+Δx) - f(x)} / Δy
={f(g(y+Δy)) - g(y)} / Δy
={f(x + Δx) - f(x)}/Δy
={f(x + Δx) - f(x)}/Δx・ (Δx/Δy)
={f(x + Δx) - f(x)}/Δx ・{g(y+Δy) - g(y)}/Δy

からある程度正しさは推測できると思う。
解析学の本を見ると厳密な証明はちょっとめんどくさい。
#杉浦 解析入門 I 定理 6.6 とか・・・

No.3 回答者： finalbento 回答日時： 2024/06/16 22:44

数学の先生には怒られる説明かもしれませんが数学のユーザーの立場には分かりやすいと思われる解釈です。

df/dy=(df/dx)(dx/dy)…①

と言う式で、右辺の

df/dx

と言う式の「分母」のdxと

dx/dy

と言う式の「分子」のdxを単純に約分してしまえば与式の左辺になります。

こう書くと「df/dy等は分数なんかではない!」と言うツッコミが来ると思いますが、極限を取る前の

Δf/Δy=(Δf/Δx)(Δx/Δy)…②

であれば名実共に普通の分数ですから、これならΔxでの約分は何の問題もないはずです。それから質問文には書かれていませんが、xとyは全く無関係な変数ではなくて

y=g(x)

等の関数関係にあるはずです。そうであるならばΔxを0に近付ければΔyもやはり0に近付くわけですから、②式で極限を取ったものはそのまま①式になります。

この場合に限らず

df/dx

と言った微分の式を「普通の分数」と解釈する事は、(後述するような注意点さえ押さえていれば)微分を実際に使う上では非常に有効だと思います。この式であれば「xとfは無関係に変化するわけではない」と言う点は絶対忘れてはいけないわけですが、そこさえ押さえていれば「微分とはどう言う計算なのか(何をやっているのか)」の具体的なイメージがしやすくなります。例えば「距離を時間で微分すると速度になる」と言う事も、微分を「普通の分数」と解釈していればすぐに納得できるはずです。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/06/16 21:44

(d/dy)f(x) = lim[y1→y]{ f(x(y1)) - f(x(y)) }/{ y1 - y }

　= lim[y1→y]{ f(x(y1)) - f(x(y)) }/{ x(y1) - x(y) } ・ { x(y1) - x(y) }/{ y1 - y }
　= lim[y1→y]{ f(x(y1)) - f(x(y)) }/{ x(y1) - x(y) } ・ lim[y1→y]{ x(y1) - x(y) }/{ y1 - y }
　= lim[x1→x]{ f(x1) - f(x) }/{ x1 - x } ・ lim[y1→y]{ x(y1) - x(y) }/{ y1 - y }
　= { (d/dx)f(x) } ・ { dx/dy }
この計算は、高校範囲。「これはこういうものだ」じゃあない。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/06/16 21:37

https://hiraocafe.com/note/differential_of_compo …