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No.4
- 回答日時:
これは
z = f(x)
x = g(y)
と定義されているとき
dz/dyを求めよという話ですよね。
x = g(y)
x + Δx = g(y+Δy)
{f(x+Δx) - f(x)} / Δy
={f(g(y+Δy)) - g(y)} / Δy
={f(x + Δx) - f(x)}/Δy
={f(x + Δx) - f(x)}/Δx・ (Δx/Δy)
={f(x + Δx) - f(x)}/Δx ・{g(y+Δy) - g(y)}/Δy
からある程度正しさは推測できると思う。
解析学の本を見ると厳密な証明はちょっとめんどくさい。
#杉浦 解析入門 I 定理 6.6 とか・・・
No.3
- 回答日時:
数学の先生には怒られる説明かもしれませんが数学のユーザーの立場には分かりやすいと思われる解釈です。
df/dy=(df/dx)(dx/dy)…①
と言う式で、右辺の
df/dx
と言う式の「分母」のdxと
dx/dy
と言う式の「分子」のdxを単純に約分してしまえば与式の左辺になります。
こう書くと「df/dy等は分数なんかではない!」と言うツッコミが来ると思いますが、極限を取る前の
Δf/Δy=(Δf/Δx)(Δx/Δy)…②
であれば名実共に普通の分数ですから、これならΔxでの約分は何の問題もないはずです。それから質問文には書かれていませんが、xとyは全く無関係な変数ではなくて
y=g(x)
等の関数関係にあるはずです。そうであるならばΔxを0に近付ければΔyもやはり0に近付くわけですから、②式で極限を取ったものはそのまま①式になります。
この場合に限らず
df/dx
と言った微分の式を「普通の分数」と解釈する事は、(後述するような注意点さえ押さえていれば)微分を実際に使う上では非常に有効だと思います。この式であれば「xとfは無関係に変化するわけではない」と言う点は絶対忘れてはいけないわけですが、そこさえ押さえていれば「微分とはどう言う計算なのか(何をやっているのか)」の具体的なイメージがしやすくなります。例えば「距離を時間で微分すると速度になる」と言う事も、微分を「普通の分数」と解釈していればすぐに納得できるはずです。
No.2
- 回答日時:
(d/dy)f(x) = lim[y1→y]{ f(x(y1)) - f(x(y)) }/{ y1 - y }
= lim[y1→y]{ f(x(y1)) - f(x(y)) }/{ x(y1) - x(y) } ・ { x(y1) - x(y) }/{ y1 - y }
= lim[y1→y]{ f(x(y1)) - f(x(y)) }/{ x(y1) - x(y) } ・ lim[y1→y]{ x(y1) - x(y) }/{ y1 - y }
= lim[x1→x]{ f(x1) - f(x) }/{ x1 - x } ・ lim[y1→y]{ x(y1) - x(y) }/{ y1 - y }
= { (d/dx)f(x) } ・ { dx/dy }
この計算は、高校範囲。「これはこういうものだ」じゃあない。
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