標準正規分布について

１）標準正規分布に従う乱数を、平均μ、分散σ^2の正規乱数に変換したい。どのようにしたらいいか。その理由も考えよ。

という問題についてですが

乱数をXとした時
Y = X・σ + μ　とする。
というのはわかるのですが（ほぼ公式なので。。。)
理由についてはどう書けばいいのでしょうか？

また
２）確率変数Xが(0,1)の範囲で一様分布に従う時、Y=1-Xと変換すれば、Yはまた一様分布となることを示せ。

という問題なのですが

Xの密度関数から１－Xの密度関数を求めるということは以前こちらで教えていただいたのですがヘビサイド関数というのが用いられていて解法をよく理解できませんでした。
実際の解法手順等含めまして丁寧に教えていただけませんでしょうか？よろしくお願いいたします。

No.7 ベストアンサー 回答者： guuman 回答日時： 2005/05/15 12:56

Ｆ（ｙ）＝∫［１－ｘ≦ｙ］ｄｘ・ｐ（ｘ）

と
Ｆ（ｙ）＝∫［１－ｙ≦ｘ］ｄｘ・ｐ（ｘ）
はまったく同じ式です
１－ｘ≦ｙ
を満たすｘの集合と
１－ｙ≦ｘ
のｘの集合はまったく同じだから

１－ｘ≦ｙ
と
１－ｙ≦ｘ
が同じということはいくらなんでもわかるでしょう

一応

１－ｘ≦ｙ
の両辺にｘを足すと
（１－ｘ）＋ｘ≦ｙ＋ｘ
すなわち
１≦ｙ＋ｘ
この両辺からｙを引くと
１－ｙ≦（ｙ＋ｘ）－ｙ
すなわち
１－ｙ≦ｘ
ということで同じ式

高校で不等式について習っていないとは思えないのですが

この回答へのお礼

理解できました。
この度は何度も丁寧に質問に答えていただきありがとうございました。

お礼日時：2005/05/15 13:05

No.6 回答者： paddler 回答日時： 2005/05/15 11:51

#4の回答者です。

E(aX+b)={Σ(a・xi+b)}/N
　　　={Σ(a・xi)+Σb)}/N
　　　=(aΣxi+bN)/N
　　　=(aΣxi)/N+b
　　　=aμ0+b

分散ですが、上の結果と

　V(X)=E(X)^2-{E(X)}^2
　　　=[Σ{xi-E(X)}^2]/N

を使います（これも導出が必要なら先にやっておいて下さい）。

V(aX-b)=[Σ{a・xi+b-(aμ0+b)}^2]/N
　　　={Σ(a・xi-aμ0)^2}/N
　　　=a^2{Σ(xi-μ0)^2}/N
　　　=a^2・V(X)
　　　=a^2・σ0^2

でよろしいんではないでしょうか。

この回答へのお礼

理解できました。
この度は何度も丁寧に質問に答えていただきありがとうございました。

お礼日時：2005/05/15 13:05

No.5 回答者： guuman 回答日時： 2005/05/15 10:25

Xがxからx+dxである確率がp(x)・dxであるから

Y=1-Xが-∞からyである確率（これはYの分布関数）は
Ｆ（ｙ）＝∫［１－ｘ≦ｙ］ｄｘ・ｐ（ｘ）
すなわち
Ｆ（ｙ）＝∫［１－ｙ≦ｘ］ｄｘ・ｐ（ｘ）
（上とまったく同じ式）
すなわち
Ｆ（ｙ）＝ｆ（∞）－ｆ（１－ｙ）
すなわち
Ｆ（ｙ）＝１－ｆ（１－ｙ）
両辺を微分して
Ｐ（ｙ）＝ｐ（１－ｙ）

積分と微分を理解していないのならばお手上げ

この回答へのお礼

ご丁寧なご指導ありがとうございます。
なるほど、わかりました。

Xがxからx+dxである確率がp(x)・dxであるから
Y=1-Xが-∞からyである確率（これはYの分布関数）は
Ｆ（ｙ）＝∫［１－ｘ≦ｙ］ｄｘ・ｐ（ｘ）
すなわち
Ｆ（ｙ）＝∫［１－ｙ≦ｘ］ｄｘ・ｐ（ｘ）

ここはまだ自分がよく理解していないところでした。
勉強になりました。あとは大丈夫です。

この度は丁寧・迅速なご指導ありがとうございました。

お礼日時：2005/05/15 10:59

No.4 回答者： paddler 回答日時： 2005/05/15 08:06

> (1)の問題の理由についてですが、正規分布の密度関数を使うのでしょうか？

> また、標準正規分布ということでμ=0、σ=1を使うのでしょうか？

もちろん、標準正規分布が出発点ですから、μ=0、σ=1を使いますが、

　Step1: 平均μ0、分散σ0^2のある統計分布に従うXの集合を{xi}とし、Y = a・X + b であるYの集合を{yi}とした時に、Yの平均 =（Σyi）/ N が、μ0 + b になることを示す。
　Step2: 同様に、Yの分散 =（ Σ(yi - yの平均)^2 ）/ N が、a^2・σ0^2 になることを示す。

のように、平均および分散の定義式（計算する式）の変形だけでだけでよいのではないでしょうか？　つまり、元の分布の形には無関係に成立しませんか？

この回答へのお礼

ご丁寧なご指導ありがとうございます。
私なりに解いてみました。
これでいいでしょうか？

平均μ0、分散σ0^2のある統計分布に従うXの集合を{xi}とし、Y = a・X + b であるYの集合を{yi}とした時に
(←使わせていただきました。μ0の0はゼロで何をおいてもいいのですよね？

Yの平均E(aX+b)
　 =aE(X)+b
　=aμ0+b

Yの分散V(aX-b)=E(aX-b)^2-{E(ax-b)}^2
　 =E(a^2X^2-2abX+b^2)-E^2(a^2X^2- 　 2abX+b^2)
　=a^2E(X^2)-2abE(X)+b^2- {aE(X)}^2+2abE^2(X)-b^2
　　　　　 =a^2[E(X^2)-{E(X)}^2]
=a^2*V(X)
=a^2*σ0^2

よって乱数をXとした時、Y = a・X + bとする。

これでよろしいでしょうか？
結局標準正規分布のμ=0、σ=1は使いませんでした、、。
また上の式の変換過程で-2abE(X)+2abE^2(X)を0としてしまったのですがどうも後味が悪いです。後ろの+2abE^2(X)は+2abE(X)だと計算が合う気がします。
間違っているのでしょうか？

いろいろとすみません。
またご指導よろしくお願いいたします。

お礼日時：2005/05/15 10:40

No.3 回答者： paddler 回答日時： 2005/05/13 11:42

> 理由についてはどう書けばいいのでしょうか？

Xが標準正規分布に従うとき、「Y = X・σ + μ」が平均μ、分散σ^2の正規分布に従うことを導出するのです。

> ヘビサイド関数というのが用いられていて解法をよく理解できませんでした。

階段型の関数を「ヘビサイド関数」というのですね。下記URLを参照して、それがこの問題とどう関わるのか考えてみましょう。

参考URL：http://akademeia.info/main/math_lecturez/math_st …

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
ヘビサイド関数についてよく勉強いたします。
(1)の問題の理由についてですが、正規分布の密度関数を使うのでしょうか？
また、標準正規分布ということでμ=0、σ=1を使うのでしょうか？
乱数をXとして、数式でX=(Y-μ)/σ⇒Y=xσ+μでは理由になっていませんよね？？
いろいろと考えたのですがよくわからなくなってしまいました。模範となる回答をご指導願えないでしょうか？よろしくお願いいたします。

お礼日時：2005/05/15 01:09

No.2 回答者： guuman 回答日時： 2005/05/13 11:40

修正

（１）
確率変数Y = X・σ + μ
の密度と平均と分散を提示すればよい

（２）　＜－－－－－－－－ここ
（ヘビサイドの微分を使わない方法）
Ｘの密度をｐとし分布をｆとし
Ｙ＝１－Ｘの分布をＦとし密度をＰとすると
定義からｐ＝ｆ’かつＰ＝Ｆ’である
よって
Ｆ（ｙ）＝∫［１－ｘ≦ｙ］・ｄｘ・ｐ（ｘ）
Ｆ（ｙ）＝∫［１－ｙ≦ｘ］・ｄｘ・ｐ（ｘ）
＝ｆ（∞）－ｆ（１－ｙ）
＝１－ｆ（１－ｙ）
両辺を微分して
Ｐ（ｙ）＝ｐ（１－ｙ）

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

(1)の問題の理由についてですが、正規分布の密度関数を使うのでしょうか？
また、標準正規分布ということでμ=0、σ=1を使うのでしょうか？
乱数をXとして、数式でX=(Y-μ)/σ⇒Y=xσ+μでは理由になっていませんよね？？
いろいろと考えたのですがよくわからなくなってしまいました。模範となる回答をご指導願えないでしょうか？よろしくお願いいたします。

(2)の問題については以下の部分がよくわかりません。
知識不足ですみません、、、。
実用統計学演習、統計ノートという参考書を
使っていますがいずれにも似たようなものが
載っておらず困っております。
今ひとつ教えていただけないでしょうか？
よろしくお願いいたします。

Ｆ（ｙ）＝∫［１－ｘ≦ｙ］・ｄｘ・ｐ（ｘ）
Ｆ（ｙ）＝∫［１－ｙ≦ｘ］・ｄｘ・ｐ（ｘ）
＝ｆ（∞）－ｆ（１－ｙ）
＝１－ｆ（１－ｙ）
両辺を微分して
Ｐ（ｙ）＝ｐ（１－ｙ）

お礼日時：2005/05/15 01:17

No.1 回答者： guuman 回答日時： 2005/05/13 11:34

（１）

確率変数Y = X・σ + μ
の密度と平均と分散を提示すればよい

（１）
（ヘビサイドの微分を使わない方法）
Ｘの密度をｐとし分布をｆとし
Ｙ＝１－Ｘの分布をＦとし密度をＰとすると
定義からｐ＝ｆ’かつＰ＝Ｆ’である
よって
Ｆ（ｙ）＝∫［１－ｘ≦ｙ］・ｄｘ・ｐ（ｘ）
Ｆ（ｙ）＝∫［１－ｙ≦ｘ］・ｄｘ・ｐ（ｘ）
＝ｆ（∞）－ｆ（１－ｙ）
＝１－ｆ（１－ｙ）
両辺を微分して
Ｐ（ｙ）＝ｐ（１－ｙ）