QC検定2級の検定について質問です。 計数値データの検定で教科書によって検定統計量が異なります。 ど

QC検定2級の検定について質問です。
計数値データの検定で教科書によって検定統計量が異なります。
どちらが正しいのでしょうか？添付写真参照
ご教授願います。

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2024/07/07 00:36

②の分母のルートの中は

　nP0(1 - P0)
ではありませんか？

たとえば「サイコロを振って、１の目が出る事象」について何かを調べる場合には、下記の (1)(2) の２通りのやり方があります。
(1) は「n 回試行したときの１の目の出る『回数』」の分布を考えるやり方。
(2) は「n 回試行したときの１の目の出る『確率』」の分布を考えるやり方。

(1) n 回振って「１の目の出る回数：X」を数えることをします。
　このときの「１の目の出る回数：X」の分布は、「１の目が出るか、出ないか（１以外の目が出る）」の二項分布です。
「１の目が出る確率：P0」を「P0 = 1/6」とすれば、二項分布では
・期待値：E[X] = n･P0　　　　(a)
・分散：V[X] = n･P0(1 - P0)
となります。
（こうなることはテキストで確認してください）
n を大きくして、二項分布が正規分布で近似できる範囲になれば、その標準偏差は
　σ = √V[X] = √[n･P0(1 - P0)]　　　　(b)
になります。
(a)(b) を使って、統計変数 X を「標準正規分布に従う変数 Z」に規格化すれば
　Z = (X - µ)/σ = (X - n･P0)/√[n･P0(1 - P0)]　　　(c)
ということになります。
これが、お示しの②に相当します。

(2) 「回数」ではなくて、n 回振って「１の目」の出る「確率」を求めることをします。
このときの「１の目の出る確率：p^」は、上記 (1) の「回数 X」を試行回数 n で割った
　　p^ = X/n
になることは分かりますね？

このときの「１の目の出る確率：p^」の分布も二項分布です。「１の目が出る確率：P0」は「P0 = 1/6」とします。
　そのとき、二項分布では
・期待値：E[p^] = E[X]/n = P0　　　　(d)
・分散：V[p^] = P0(1 - P0)/n
となります。

n を大きくして、二項分布が正規分布で近似できる範囲になれば、その標準偏差は
　σ = √V[p^] = √[P0(1 - P0)/n]　　　　(e)
になります。
(d)(e) を使って、統計変数 p^ を「標準正規分布に従う変数 Z」に規格化すれば
　Z = (p^ - µ)/σ = (p^ - P0)/√[P0(1 - P0)/n]　　　(f)
ということになります。
これが、お示しの①に相当します。

#1, #2 の kamiyasiro さんが書かれているように、(f) の分母・分子に n をかければ (c) になりますね。
要するに、
①の式：「確率分布」で考えた場合
②の式：「多数回試行して実現する回数の分布」で考えた場合
ということで、結果的に同じものです。

必要なら、下記のようなサイトで確認してください。
https://bellcurve.jp/statistics/course/9122.html

No.4 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2024/07/07 02:49

No.1です。

さすがyhr2さん。私は、カッコ内の間違いまでは気付きませんでした。

細かいこと言えば、添え字にも気を付けましょう。
uoのoは、オブザーブドのｏ。観測値の検定統計量だという意味です。
p0の0は、ナル・ハイポセシスのナルの0です。帰無仮説となる確率値です。

あと、試行の確率は小文字p、事象の確率は大文字Pを使います。

コインを投げるという１回の試行で表が出る確率（期待値）は小文字、
p＝1/2。
コインをn回投げて3回表が出るという事象の確率は大文字、
P(3｜p)=nC3・p^3・(1-p)^(n-3)
という具合に使い分けられます。

本質問の場合は、スモールpが使われるべきです。
これより、npは観測度数xになりますが、nPでは意味がおかしくなります。

なお、Zoとするか、uoとするかは、どちらでも良く、
ZはZ検定から、
uは標準正規分布表のｕの欄、unitized（単位化された値）から
来ています。

最近では、その欄もZと書いてあることが多いです。

Zは、標準得点Z-scoreのZですが、標準得点はそもそもはStandard scoreなので、なぜZが用いられるようになったかは、微妙です。
たぶん、sを使うと標準偏差、Sを使うと偏差平方和になってしまうので、苦肉の策でZを使うようになったのかと。

Zは固有名詞扱いなので、大文字を使うのが妥当かと思いますが、厳密なルールは存在しません。

最後に、連続値の平均値の検定では、母分散既知の場合はZ検定、未知の場合はｔ検定が使われますが、計数値の場合は、そのような使い分けがありません。
それは、そもそも二項分布やポアソン分布であるものを無理やり正規分布近似して行う便宜的な検定だからです。
ですから、すそ野部分は全く合いません。
不良率など、すそ野の値を検定するときは、ロジット変換、逆正弦変換などをしなければなりません。これらはＱＣ検定１級で出題されます。

No.2 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2024/07/06 22:02

No.1です。

どちらが正しいかということではなく、二つの式は同値です。
その理由はNo.1で述べた通りです。

nP^＝ｘ
つまり、全体のｎ個に出現確率P^を掛けると、観測度数ｘになりますから。

No.1 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2024/07/06 18:51

左の式の分母分子をｎ倍すると、右の式になります。