数学の微分の応用の問題について質問です。 問題 :関数 y=x-1/x^2増減,極限,グラフの凹凸

数学の微分の応用の問題について質問です。

問題
:関数 y=x-1/x^2増減,極限,グラフの凹凸を調べて,グラフの概形をかけ。

解答
y'=- (x-2)/x^3
y''=2(x-3)/x^4

y'=0より
x=2,y''=0よりx=3

増減表は画像添付します。

f(2)=1/4,f(3)=2/9

lim(x➡+-∞) (x-1)/x^2=0
lim(x➡+-0) (x-1)/x^2=-∞
漸近線はx=0,y=0

ここで質問です。
なぜlim(x➡+-∞)やlim(x➡+-0)を調べなければならないのでしょうか?

lim(x➡+-∞)やlim(x➡+-0)を調べなければならない時とは、どういった時でしょうか?

解説よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2016/11/28 16:38

>>なぜlim(x➡+-∞)やlim(x➡+-0)を調べなければならないのでしょうか?

極大値や極小値を求める問題では無くてグラフの形を求める問題なんでしょう？

調べないと、No.1で回答した通り、正しいグラフ形にならないからですよ！

漸近グラフになるのか、x軸を飛びぬけた形になるのか解らないでしょう？

この回答へのお礼

なるほど
ありがとうございました

お礼日時：2016/11/28 16:40

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2016/11/28 15:29

例えばy=(x²+1)/x　のグラフ

微分して増減表を書いてみると
x・・・-1・・・1・・
y'　ー　0　＋　 0　ー

これで安心してグラフを描いてしまうと、下の左。
しかし、実際には下の右側になります。

原因はx→∞, x→−∞　の状態を調べていないことにあります。
x→∞, x→−∞　のとき, yは0に限りなく近づく, すなわち, x軸が漸近線であることがわかるので,右の様なグラフになることがわかります。

必ず、x→∞, x→−∞　の状態を調べて下さい。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
lim x➡0やlimx➡-0どうして調べる必要があるのでしょうか?

お礼日時：2016/11/28 16:19