数学一次変換の問題でカッコ3の像を求めるのと下の問題の違いはなんですか？なぜ同じように考えられない

Question

数学一次変換の問題でカッコ3の像を求めるのと下の問題の違いはなんですか？
なぜ同じように考えられないのですか？

ありものがたり · Accepted Answer

いや、同じように考えられるよ。
同じように、直線をパラメータ表示して、
一次変換の式へ代入すればいい。
結果として点じゃなく、パラメータ表示された直線
が得られるから、直線の方程式に翻訳すれば完了。

むしろ、上の問題の(3)のほうが、
下の問題と同じようには考えられない。
逆変換して直線の式へ代入しようとしても、
一次変換が正則でないと、逆変換が存在しないから。
そこが違い。

ありものがたり · Answer

＞ 二時形式でした

二時形式も初耳だな。
二次形式なら、ベクトル変数 x と定数行列 A で作る
(xの転置 A x) という式のこと。

ベクトルからスカラーへの写像だから、
「図形の形を変える」 って感じじゃあないと思うがな。

ありものがたり · Answer

←「お礼」 07/17 13:58
追加質問で話が広がってますねえ。
毎度のことではありますけど。

ベクトル (X,Y) が行列 A にベクトル (x,y) をかけたものになるということは、
(x,y) を一次変換して (X,Y) になるということです。　←[1]
目的語と補語をきちんと置いて話さないと、何を言ってるのか判らなくなります。

A が正則であれば、 (X,Y)の転置 = A (x,y)の転置 であるとき
(x,y)の転置 = Aの逆行列 (X,Y)の転置 でもあるので、
同時に (X,Y) を一次変換して (x,y) になるとも言えますが、　←[2]
A が逆行列を持たない場合には、[1] が言えても [2] は言えません。

＞ 一次変換をするというのは図形の形を変えるというイメージがあって

イメージでなんとなく解った気分になろうとすると、
数学では、多くの場合、間違えます。

＞ 二時変換も同様のイメージなのですが

何ですか、 二次変換って？
初耳です。

ありものがたり · Answer

＞ 下の問題も上と同じように
＞ 直線上の l の点を a として考えるやり方ということですか？

直線上の点を a として考えるんじゃなく、
直線 l 上の点を変数 a を使って表示する考え方です。
直線のパラメータ表示ってやつです。
これを使って、下の問題も上の(3)と同じように扱える。

一方、上の問題の（３）は、写真の下の解法では扱えません。
その理由は No.3 に書いたとおりです。

Tacosan · Answer

まず質問文そのものに対していうと, 「同じように考えられない」ということではない. そこは, 実際に手を動かしてるんだからわかってるはずだよね?

その上でその画像の手法についていうと,
正則行列による変換だと任意の点に対しその原像が一意に決まる
ので
原像の条件から像の条件が簡単に求まる
っていうだけの話.

本質としては, 例えば
図形 f(x, y) = 0 を x軸方向に p, y軸方向に q だけ平行移動して得られる図形の方程式は f(x-p, y-q) = 0
と同じことをやっている.

Tacosan · Answer

変換行列が正則か否か.

ところで, 手を動かしてみた?

数学一次変換の問題でカッコ3の像を求めるのと下の問題の違いはなんですか？ なぜ同じように考えられない

いや、同じように考えられるよ。

＞ 二時形式でした

←「お礼」 07/17 13:58

＞ 下の問題も上と同じように

まず質問文そのものに対していうと, 「同じように考えられない」ということではない. そこは, 実際に手を動かしてるんだからわかってるはずだよね?

変換行列が正則か否か.

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＞二時形式でした

＞下の問題も上と同じように