キャンパスゼミに乗ってる方法だけで

これはとけますか？
(1+x)y''+xy'-y=0
見たことない形だから、溶けるならどれですか？
x=-1なら
y'=-y
はとける
x!=-1で
y''+x/(1+x) y' -1/(1+x)y=0
みたいにして基本解をみつけるしかないですか？
基本的に定数係数じゃない2回位から解けないと思います。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/16 16:47

(1+x)y"+xy'-y=0

y=a(0)+a(1)x+a(2)x^2+a(3)x^3+a(4)x^4+…
とすると

y'=a(1)+2a(2)x+3a(3)x^2+4a(4)x^3+…
y"=2a(2)+6a(3)x+12a(4)x^2+…

-y=-a(0)-a(1)x-a(2)x^2-a(3)x^3-a(4)x^4-…
xy'= a(1)x+2a(2)x^2+3a(3)x^3+4a(4)x^4+…
y"=2a(2)+6a(3)x+12a(4)x^2+…
xy"= 2a(2)x+6a(3)x^2+12a(4)x^3+…

(1+x)y"+xy'-y
={2a(2)-a(0)}+2{a(2)+3a(3)}x+{a(2)+6a(3)+12a(4)}x^2+…

a(1)x-a(1)x=0
だから
a(1)は任意の値だから

y=a(1)x
が
解の一つになる

2a(2)-a(0)=0
2a(2)=a(0)
a(2)=a(0)/2

6a(3)+2a(2)=0
3a(3)+a(2)=0
a(3)=-a(2)/3=-a(0)/6=-a(0)/3!

a(2)+12a(4)+6a(3)=0
2a(2)+24a(4)+12a(3)=0
a(0)+24a(4)-2a(0)=0
24a(4)=a(0)
a(4)=a(0)/24=a(0)/4!

a(1)=-a(0)とすると

y
=a(0)-a(0)x+a(0)x^2/2-a(0)x^3/3!+a(0)x^4/4!+…
=a(0){1-x+x^2/2-x^3/3!+x^4/4!-…}
=a(0)e^(-x)

y=a(0)e^(-x)　とすると

y'=-a(0)e^(-x)
y"=a(0)e^(-x)

(1+x)a(0)e^(-x)-a(0)xe^(-x)-a(0)e^(-x)=0
になるから

y=a(0)e^(-x)
が
解の一つになる

∴
y=a(1)x+a(0)e^(-x)

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/07/16 14:31

２階線型微分方程式だから、基本解が２個見つかれば解けたことになる。

y = x が解であることはたいてい誰でも気がつくとして、
もう１個の解はどうしよう？

与式の左辺の x がどうやったら消えるかな... と考えていると、
y’ = -y ならよいことに気づく。そのとき y” = -y’ = y になるから、
(左辺) = (1+x)y + x(-y) - y = 0 となって与式は成り立つ。
y’ = -y の解が y = C e^(-x) {Cは定数} であることは、知ってるよね。

まとめると、解は y = A x + B e^(-x) {A,Bは定数}.

この回答へのお礼

そんなに風にできるのはありものがたりくんだけだよ？
普通のひとでもわかる解法を教えて下さい。（飛び級しないで）

お礼日時：2024/07/16 15:58

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/07/16 14:20

＞ x=-1 なら

＞ y'=-y
＞ はとける

ダウト。
y = f(x) と書くと、
x = -1 のとき ｆ’(-1) = f(-1) が成り立つことが判るだけです。

x を -1 に限定しているので、
その一点でだけ f’(x) = f(x) が成り立つことが判っても
微分方程式として解くことはできません。

この回答へのお礼

あそか。ぜんぜん考えたことなかった

お礼日時：2024/07/16 15:59

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/16 14:01

(1+x)y"+xy'-y=0

y=cx
なら
y'=c
y"=0
だから
(1+x)y"+xy'-y=(1+x)*0+cx-cx=0
だから

y=cx
は
1つの解

この回答へのお礼

なるほど。なれですか？

お礼日時：2024/07/16 15:59