数学1についてです。 具体的にどの数字を入れてどう考えたらいいでしょうか。 何が起こってるのかよく分

数学1についてです。
具体的にどの数字を入れてどう考えたらいいでしょうか。
何が起こってるのかよく分かりませんでした。
それぞれ①必要条件、②必要十分条件が答えです。
宜しくお願いします。

次の条件pは、条件qのであるための必要条件、十分条件，必要十分条件のいずれであるか。適するものを答えよ。ただし、x,a,bは実数、nは自然数とする。
①p:x^2=4x,q:x=4
②p:|a|=√b,q:a^2=b

質問者からの補足コメント

• 条件についてはなんとなく分かっているつもりです。
  ①は下記のように考えています。
  
  ①について
  p→q
  pについてはx=4の時くらいしか成立しない式になってる。そのため、pのときにx=0は正しいが、qのx=0のとき、成り立たない。
  q→p
  x=4は確定でx=0やx=-2などの反例は介入できない。
  x=4しか考えてはダメなので、x^2=4xは必ず成立する
  と考えています。
  
  しかし、
  ・q→pのとき、x=0でも、なんでも成り立つ？みたいな説明を受けたので疑問が大きくなりました。
  ・p→qのとき、反例x=-2があるからだめ？という説明も受けました。
  この2点の助言が合っているのか間違っているのかだけでも教えてください。

    補足日時：2024/07/12 02:10

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/07/12 14:24

まずは、

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/10547222.html
このリンク先のMasterkotoの解説を読んで見てください
これを参考に、①p:x^2=4x,q:x=4　について集合を絡めて考えて見ます
pを満たすようなxをすべて集めたものを
集合Pとします
すると、Pの中にはx＝0とx＝4の２つが入っていることになります
次に、qを満たす集合をQとすると
Qの要素はx＝4のみとなります
よってこの様子をベン図で表すと
図のようになります
QはPに完全に包まれているので、
(今回は、Qの要素は一つのみだが)
集合Qの中にある要素ならどれでも
自動的に集合Pの中にある(Pの要素になる)事になり、
qを満たすようなxは全て、pを満たす事になります
このとき
Q内に入っている事は、P内からはみ出さないためには十分なことだよね、
(Q内に入っていれば、確実にP内に入っているよね)
と言う事で
qであることはpであるための
(必要条件ではなくて)十分条件
と言います
反対にP内に入っていても確実にQ内に入るとは限りません(Pの要素のううちx＝0はQからはみ出している→このはみ出しが反例となります)
でも、P内に入っておくことはQ内に入るためには十分ではないが、必要な事だよね、と言う事で
pであることはqであるための
(P内に入ってる事はQ内にあるための)
十分ではないが必要条件
となるのです

②p:|a|=√b,q:a^2=b
今回は、各条件を満たす(a、b)の組を考えます
例えば、
(a、b)＝(-2、4)
や(1、１)などはpを満たす(a、b)の組ですから
pを満たす組の集合をPとすれば
これらの組はPの要素と言う事になります
一方、(2、1)などはpを満たさず、Pからはみ出ています
で、Pの要素もQの要素も無数にあるので
PとQの包む、包まれるの関係がわかりにくいです
そこで、pの式を同値変形してみます
b≧0より
p:|a|=√bの両辺を２乗すると
a²＝b
ゆえに、p:|a|=√bは
p:a²＝bと書き換えても差し支えないことになります
すると、条件pを表す式とqを表す式は同型なので
条件pを満たす組の集合Pと
qを満たす組の集合Qはぴったり重なることになります
PとQがぴったり重なるとき
pはqであるためのの必要十分条件
qはpであるための必要十分条件
と言うので
②の答えは必要十分条件
となるのです
(必要十分条件のことを、同値、とも言う)

もし、PとQが全く重ならないなら
それは、必要条件でもなく、十分条件でもない、と言う事になります

この回答へのお礼

ありがとうございます！！

お礼日時：2024/07/12 16:18

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/12 05:58

①

p:x^2=4x
q:x=4

p
x^2=4x
↓
x^2-4x=0
↓
x(x-4)=0
↓
x=0.or.x=4
-----------------
・
(q→p)=(-q)Vp

(q→p)は(qではない)か(pである)だから

(x≠4)or(x=0.or.x=4)だから
xはなんでも成り立つから
q→pは真

・
(p→q)=(-p)Vq

(p→q)は(pではない)か(qである)だから
{(x≠0)&(x≠4)}or(x=4)

(p→q)の否定は
pΛ(-q)=(pである)かつ(qでない)だから
(x=0.or.x=4)&(x≠4)
=(x=0)
だから
x=-2は反例にならないから間違っている

p→qの反例は
x=0
だけ
x=0のとき成り立たないから
p→qは偽

この回答へのお礼

大変よく分かりました。ありがとうございます！

お礼日時：2024/07/12 16:18

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/07/12 01:49

「数字を入れて考える」とかの前に, 例えば「p が q の必要条件である」とはどういうことなのか理解できている?