6番です 算数です (1)ですが整数の和ということで数列の公式を使いましたので正解はしましたがその後

6番です

算数です

(1)ですが整数の和ということで数列の公式を使いましたので正解はしましたがその後の(2)、(3)は解けませんでした。

どのように解けばいいですか？

No.2 ベストアンサー 回答者： ご意見をお願いします。 回答日時： 2024/09/29 11:22

単純な数列の問題と言うよりは、集合や数の性質（序数性や倍数、剰余系）などの問題と考えた方が良さそうです。

始めに、周辺知識の確認などから。

まず、問題では【3,4】の様な表記となっていますが、これでは直感的にわかりにくいので、(3～4)と表記することにします。
(3～4)＝3＋4＝7
(2～5)＝2＋3＋4＋5＝14

〇コの連続する整数の和について
小学生ですので負の数、マイナスについては考えないことにします。

例えば、〇=２のとき、、、
(0,1)＝０＋１　　　　　　＝１
(1,2)＝　　１＋２　　　　＝３
(2,3)＝　　　　２＋３　　＝５
(3,4)＝　　　　　　３＋４＝７
　：　　　　　　　　　　：
上のように表記して、上下の行を比べてみると、左端の数が消えて右端に新しい数が付け加わっていることに気づきます。ここで消えた数と付け加わった数とを比べると、常に差が２となっています。また、一番上の数が１であることから、すべて、２の倍数に１を足した数になると考えることができます。（初稿１、公差２の等差数列と考えて頂いてかまいません。）
〇=３のとき、、、
(0,1)＝０＋１＋２　　　　　　＝３
(1,2)＝　　１＋２＋３　　　　＝６
(2,3)＝　　　　２＋３＋４　　＝９
(3,4)＝　　　　　　３＋４＋５＝12
　：　　　　　　　　　　：
消えた数と付け加わった数とを比べると、常に差が３となっています。また、一番上の数が３であることから、すべて、３の倍数に３を足した数（結経は３の倍数）になると考えることができます。（初稿３、公差３の等差数列と考えて頂いてかまいません。）
同様に、、、
〇＝４、４の倍数＋６ → およそ４の倍数＋２（４の半分）
〇＝５、５の倍数＋10 → およそ５の倍数
〇＝６、６の倍数＋15 → およそ６の倍数＋３（６の半分）
〇＝７、７の倍数＋21 → およそ７の倍数
　：　　　　　　　　　　：
※４の倍数＋６ → およそ４の倍数＋２となるのは、
　４の倍数＋６ → ４の倍数＋(４＋２) → （４の倍数＋４）＋２ →およそ４の倍数＋２
　の様に、4の倍数に4を足しても、やはり４の倍数となることから。以下同様。

これをざっくりとまとまると、、、

〇コの連続する整数の和、は、
〇=２のとき、奇数
〇が２以外の偶数のとき、およそ〇の倍数に〇の半分を足したもの
〇が奇数のとき、およそ〇の倍数
となることが推測できます。
(2)や(3)ではこのことを利用して、答えを絞り込みます。

(1)
(1～11)＋(10～20)－(1～20)
＝(1～11)＋(10～11)＋(12～20)－(1～20)
＝(1～11)＋(12～20)＋(10～11)－(1～20)
＝(1～20)＋(10～11)－(1～20)
＝(10～11)＝10＋11＝21

(2)
(1～ア)＋(イ～20)＝(1～20)＋31
上の式をよく見ると、ア<イは考えられません。左辺にはアからイの間の数が含まれないので、(1～20)より小さくなってしまうからです。
また、同様にア＝イも考えられません。ア＝イ＝31となるはずですが、31は1から20の範囲には含まれません。

ここで、ア＞イとして、左辺をもう少し詳しく見てみることにします。（説明のためにイより一つ少ない数を□としておきます。このとき、1＜□＜イ＜ア＜20となるはずです。）
(1～ア)＋(イ～20)
＝(1～□)＋(イ～ア)＋(イ～20)
＝(1～□)＋(イ～20)＋(イ～ア)
＝(1～20)＋(イ～ア)
これが、(1～20)＋31と等しくなるので、(イ～ア)＝31であることがわかります。しかし、(イ～ア)に数がいくつ含まれるかはわかりません。ここに先ほどの周辺知識を利用するのですが、ここでは敢えて違うとき方（小学生らしい？解き方）を使ってみます。

(イ～ア)に2つの連続する数が含まれるとした場合、、、
31÷２＝15.5ですから、その２数は15.5を挟む整数であると考えられます。それは15と16で、ア>イでしたので、ア＝イ、16＝15となるでしょう。


(イ～ア)に３つの連続する数が含まれるとした場合、、、
31÷３＝10.333…ですから、その３数の中心は10.333…であるはずですが、これは整数ではありませんから不適です。
また、(イ～ア)に連続する数が奇数個含まれるとした場合も割り切れませんので、同様に不適です。

(イ～ア)に４つの連続する数が含まれるとした場合、、、
31÷４＝7.75ですから、その４数の中心は7.75を挟む２数であると考えられます。それは７と8ですが、7と8の中心は7.75ではありませんので不適です。
また、(イ～ア)に連続する数が２以外の偶数個含まれるとした場合も、同様に不適です。

よって、ア＝イ、16＝15以外の答えは見つかりません。

(3)
(1～ウ)＋(エ～20)＝(1～20)＋30
(2)と同様に考えて、(エ～ウ)＝30であるはずです。次に(エ～ウ)に含まれる連続する整数の個数について考えって見ます。ここで先述の周辺知識を利用してみます。

まず、(エ～ウ)に含まれる数の個数が２個である場合について考えます。

(エ～ウ)に含まれる数の個数が２個である場合、(エ～ウ)＝奇数であるはずですが、(エ～ウ)＝30にあてはまりません。不適です。

次に、(エ～ウ)に含まれる数の個数が奇数個である場合について考えます。
0の約数のうち、１を除く奇数に当てはまるのは、３、５、15の3つです。

(エ～ウ)に含まれる数の個数が３個である場合、(エ～ウ)＝３の倍数であるはずで、(エ～ウ)＝30にあてはまります。この時、中心となる数は30÷３＝10なので、つまり(エ～ウ)には「9,10,11」が含まれることがわかります。このとき、(ウ,エ)＝(11,9)です。

(エ～ウ)に含まれる数の個数が５個である場合、(エ～ウ)＝５の倍数であるはずで、(エ～ウ)＝30にあてはまります。この時、中心となる数は30÷５＝６なので、つまり(エ～ウ)には「4,5,6,7,8」が含まれることがわかります。このとき、(ウ,エ)＝(8,4)です。

(エ～ウ)に含まれる数の個数が15個である場合、(エ～ウ)＝15の倍数であるはずで、(エ～ウ)＝30にあてはまります。この時、中心となる数は30÷15＝２となりますが、2より小さい数は一つしかありません。小学生の範囲では、２を中心とした、連続する15コの数を作ることができません。よって不適です。
(エ～ウ)に含まれる数の個数が15個である場合、(エ～ウ)＝15の倍数であるはずで、(エ～ウ)＝30にあてはまります。この時、中心となる数は30÷15＝２となりますが、2より小さい数は一つしかありません。小学生の範囲では、２を中心とした、連続する15コの数を作ることができません。よって不適です。

最後に、次に、(エ～ウ)に含まれる数の個数が２を除く偶数個である場合について考えます。

(エ～ウ)に含まれる数の個数が○（２を除く偶数）個である場合、その和は○の倍数＋○の半分であることがわかっていますので、20以下の数について一つずつ確かめてみます。
30＝○の倍数＋○の半分にあてはまる、２を除く偶数は、４しかありません。

(エ～ウ)に含まれる数の個数が４個である場合、中心となる数は30÷４＝7.5となります。7.5を挟む２つの数は7と8ですから、その前後に一つずつを加えた「6､7､8､9」の4つであることがわかります。このとき、(ウ,エ)＝(9,6)です。

よって、あてはまる(ウ,エ)は、(11,9)、(8,4)、(9,6)の３通りです。


中学校入試において、問題によって必要となる周辺知識は様々です。これらを学校などで学ぶことは滅多にありません。また、学校などでそれらの全てを網羅することも不可能です。このような周辺知識は教えてもらうのではなく、本来は、自分の体験の中から自分で見つけ出して蓄積していくいくものなのです。この様な知識をたくさん持っている子どもは、普段から様々なことに興味を持ち、その中で感じた疑問をそのままにせず自分なりに解決していく姿勢を持っています。中学校の入試問題に多くの難問奇問が出題されるのはその性なのだろうと、私は考えています。
質問者様が、個の手の問題を解くことに興味をお持ちなら、問題の解法だけに目を向けるのではなく、ご自身の日常生活中の出来事に興味を関心、疑問を持つ姿勢を身につけられてもよろしいかと思います。

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2024/09/30 16:53

中学生の解き方なので　小学生なら　

3)　【ウ,ェ】=30=3*5*2*2=30*2=20*3=15*4=12*5=10*6　で　

No2のように

1つ1つ検証していくのでしょうね！

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2024/09/30 16:28

2)

右辺=【1,20】+31=【1,20】+62/2
左辺=【1,ア】+【イ,20】=(1+ア)*ア /2 +【1,20】- 【１,イ-1】
=(1+ア)*ア /2 + 【1,20】- (1+イ－１)(イ-1)/2
=【1,20】+ (1+ア)*ア /2 - イ(イ-1) /2
=【1,20】+(1/2){ア＋アへ2　‐　イへ2　+イ}
　　 =【1,20】+(1/2){ア+イ+アへ2　‐　イへ2)
=【1,20】+(1/2){(ア+イ)(ア-イ+1))
ア+イ=31
ア-イ+1=2 ∴ア=イ+1　　故にア=16 イ=15

3) 同様に
右辺=【1,20】+30=【1,20】+60/2
左辺=【1,ウ】+【ェ,20】=(1+ウ)*ウ/２+【1,20】- (1+ェ-１)*(エ-1)/2
=【1,20】+(1/2){ウ+ウへ２　-　ェへ２+ェ}
　　=【1,20】+(1/2)(ウ+ェ)(ウ-エ+1)

60=3*5*2*2=30*2=20*3=15*4=12*5=10*6
2つずつ選べば　3C2 +2C2=3+1=4 通り　....3*5 ,5*2 ,3*2 ,2*2
3つずつ選べば　3*5*2　　 , 3*2*2 , 5*2*2 .....3通り

ウ+ェ=30
ウ-エ+1=2 不適

ウ+ェ=20
ウ-エ+1=3 ∴ウ=11 ェ=9

ウ+ェ=15
ウ-エ+1=4 　　∴ウ=9 ェ=15-9=6

ウ+ェ=12
ウ-エ+1= 5 ∴ウ=8 ェ=12-8=4

ウ+ェ=10
ウ-エ+1=6 不適


【1,20】を如何に活用するかがポイントでしょう！
(2),(3)も　やり方は全く一緒で計算をガチャガチャして
素因数分解から約数を全て求めて場合分けするだけ！
パターン問題！

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/09/29 03:13

(1)

[1,11] + [10,20] - [1,20] = ( [1,9] + [10,11] ) + [10,20] - [1,20]
　　　　　　　　　　　= [10,11] + ( [1,9] + [10,20] ) - [1,20]
　　　　　　　　　　　= [10,11] + [1,20] - [1,20]
　　　　　　　　　　　= [10,11]
　　　　　　　　　　　= 10 + 11
　　　　　　　　　　　= 21.

(2)
ア ≦ イ だとすると [1,ア] + [イ,20] ≧ [1,20] になってしまうから、
[1,ア] + [イ,20] = [1,20] + 31 なら ア > イ である。 そのとき、
(1) と同様に考えて [1,ア] + [イ,20] = [1,20] + [イ,ア] になる。
[イ,ア] = 31 となる ア,イ を求めればいいが、
算数的には、直感で 15 + 16 = 31 を見つけるのだろうか？

中学生なら、[イ,ア] = (イ + ア)(ア - イ + 1)/2 = 31 を解く。
(イ + ア)(ア - イ + 1) = 2・31 の両辺の素因数分解を考えると
イ + ア = 2, ア - イ + 1 = 31 か
イ + ア = 31, ア - イ + 1 = ２ のどちらかだが、
1 < イ より ア + イ > ア - イ + 1 なので
ア + イ = 31, ア - イ + 1 = ２ を解けばいい。
連立方程式を解いて、ア = 16, イ = 15。

(3)
(２) と同様に考えて、
[エ,ウ] = (エ + ウ)(ウ - エ + 1)/2 = 30 を解けばいい。
(エ + ウ)(ウ - エ + 1) = 2・2・3・5 の両辺の素因数分解を考えるが、
(エ + ウ) と (ウ - エ + 1) の偶奇が異なることと
1 < ウ より ウ + エ > ウ - エ + 1 であることを考慮して、
考えられる組み合わせは
ウ + エ = 3・5, ウ - エ + 1 = ２・２.
ウ + エ = ２・２・３, ウ - エ + 1 = 5.
ウ + エ = ２・２・5, ウ - エ + 1 = 3.
のどれか。
各連立方程式を解いて、
(ウ,エ) = (9,6),
(ウ,エ) = (8,4),
(ウ,エ) = (11,9)
の 3 組が答えとなる。

(3) を、小学生がどうやって解くんだ？