算数です 比を求めるのに 144:162:180とやったのですが 解説では 一旦 144:162 と

算数です

比を求めるのに
144:162:180とやったのですが
解説では
一旦　144:162 と　162:180とやっていました。
なぜこういったやり方でも求められるのですか？

No.5 ベストアンサー 回答者： ご意見をお願いします。 回答日時： 2025/05/07 17:50

恐らく逆比を求めるためだと思います。

この問題では三人のかかる時間の比から、三人が同じ時間内に進む距離の比を求めねばなりません。かかる時間の比と、進む距離の比は逆比となります。

しかし、比べる人数が二人だけなら、そのまま、数字をひっくり返せば逆比になるのですが、三人以上となると、そう簡単にはいきません。

100mにかかる時間の比は
A:B:C＝14.4:16.2:18.0＝8:9:10
ですが、その逆比、同じ時間内に走る距離の比は、単純に、
A:B:C＝10:9:8
にはなりません。

本来、逆比とは、x:yを単純にひっくり返して、y:xとしたわけではありません。
xとyをそれぞれ逆数にして、
1/x:1/y＝y/xy:x/xy＝y:x
としたものです。
ですから、比べる人数が三人いるなら、
x:y:z＝1/x:1/y:1/z＝yz/xyz:xz/xyz:xy/xyz＝yz:xz:xy
となります。

逆比を求める際に、逆数を使うことをしっかり説明できていれば良いのですが、多くの場合、実用上の問題がないので、前後の数を入れ替えれば逆比になる、と説明してしまいます。ところが、比べる人数が三人以上になると、実はそれほど単純ではないのです。この問題はそこをついたものだと思います。

逆数を使わずに三人以上の逆比を求めるには、まず、二人ずつの逆比を求めておいて、それらを連比にして全体の逆比を求める、と言う手順を踏むことになります。
恐らく、解説書はその様な手順をふんでいるのてわはないでしょうか。
以降、その方法で解説してみます。

三人のかかる時間の比から、三人の進む距離の比を求めてみます。

まずAとBから。
AとBのかかる時間の比は
A:B＝14.4:16.2＝8:9
よって、AとBが同じ時間内に進む距離の比は、逆比の
A:B＝9:8―①

次にBとCから。
BとCのかかる時間の比は
B:C＝16.2:18.0＝9:10
よって、BとCが同じ時間内に進む距離の比は、逆比の
B:C＝10:9―②

よって①、②より、、、

A:B＝9:8―①
B:C ＝10:9―②
Bを公倍数の40に揃えるために①を5倍、②を4倍すると
A:B＝45:40―①'
B:C ＝40:36―②'
①'と②'より、
三人の同じ時間内に進む距離の比はA:B:C＝45:40:36―③

これを基にAが90m進む間の、同じ時間内に、残りのB、Cが進む距離を見つければよいでしょう。

具体的には、
A:B:C＝45:40:36＝90m:○m:□m
にあてはまる、○と□を求めればよいでしょう。
これらから、
Aさんが90m進む間に、Bさんは80m、Cさんは72m進むでしょう。
ここから二人の差が求められます。

この回答へのお礼

いつもありがとうございます。こんな長文で返信してくださっているのに私の勉強の進捗がミミズ並みなのが不甲斐ないです。

お礼日時：2025/05/07 20:29

No.4 回答者： ssawatake 回答日時： 2025/05/07 14:45

144:162:180として正解です（回りくどくなくて一番スッキリ）

A:B=144:162
B:C= 162:180

Bは上下どちらも162なんだから、A:B:C=144:162:180


A:B=1:2
B:C= 4:3
なら
A:B=2:4として
B:C= 4:3だから
A:B:C=2:4:3

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/05/07 13:58

(1) ですね？

Aさん,Bさん,Cさんの速さの比が 100/14.4 ： 100/16.2 ： 100/18 で、
三人が同じ時間で走る道のりの比はこの比に等しいです。
速さに掛ける時間が共通なので、速さの比 = 道のりの比ですからね。
そこで、(Aさんが90m走る間に)Bさん,Cさんが走る道のりは
100/14.4 ： 100/16.2 ： 100/18 = 90 ： [B] ： [C] から求まります。
Bさん,Cさんの道のりをそれぞれ求めて、差をとれば答えになります。

↑このやり方ができるなら、三連比を使って解いてもよいです。
使うべきは 1/144 ： 1/162 ： 1/180 という三連比であって、
144 ： 162 ： 180 は登場しません。
この解法のポイントは、速さの比 という考えから
逆数の比が作れるかどうかです。

二項の比なら、 144 ： 162 の逆比 1/144 ： 1/162 は
項の並び順を逆にした 162 ： 144 と一致しますが、
144 ： 162 ： 180 の並び順をひっくり返して 180 ： 162 ： 144 にしても
1/144 ： 1/162 ： 1/180 と同じ連比にはなりません。

推測ですが、解説では、項が分数になる比の使用を避けて
並び順のひっくり返しで逆比を作るために、二項の比に分解して扱った
のではないでしょうか。

↑の解法で解くとしても、立式の考え方は単純になりますが、
答えの値を得る計算は結局
100/14.4 ： 100/16.2 ： 100/18 = 90 ： [B] ： [C] を
100/14.4 ： 100/16.2 = 90 ： [B] と
100/14.4 ： 100/18 = 90 ： [C] に分解して
[B], [C] を求めることになりますから、
同じっちゃあ同じなんですけどね。

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2025/05/07 09:59

(1) 問題は Aさんと Bさん、 Bさんと Cさんの 差を求めるのですから、

14.4:16.2, 16.2:18 としないと 変ですよね。

No.1 回答者： mukaiyamo 回答日時： 2025/05/07 09:38

問題の画像が読みにくいですが、

「かなこさんとしおりさんの走る速さの比を・・・」
と言ってているんじゃないの？

比べるのが２人なんだから、答えも２つの整数比でないとだめですよ。