数学 確率分布

教科書の問題ですが、答えはありますが解説がないため解き方がわかりません。
教えてください。
5番の問題です。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2024/10/19 23:19

硬貨（コイン）は、常識的には「表が出るか、裏が出るか」の二択で、その確率は各々 1/2 ずつ。

N 回投げて、表が x 回出る確率は「二項分布」します。

確率 p の二項分布の事象を、N 回試行したときに x 回出現するとき、
・期待値：E[X] = Np
・分散　：V[X] = Np(1 - p)
になります。

そして、二項分布の事象を数多く試行すると、その分布は「正規分布」に近づいて行きます。
p = 1/2、N = 400 なら、十分に「正規分布」で近似できます。

ということで、お示しの問題では
・期待値：E[X] = Np = 400 × (1/2) = 200
　→　これが平均：µ = 200
・分散　：V[X] = Np(1 - p) = 400 × (1/2) × (1/2) = 100
　→　標準偏差：σ = √(V[X]) = 10
の正規分布を考えればよいのです。

確率を求める範囲は
　|X/400 - 1/2| ≦ 0.05
→　|X - 200| ≦ 20
ですから
　180 ≦ X ≦ 220
ということです。

上の「期待値」「標準偏差」と見比べれば
　µ - 2σ ≦ X ≦ µ + 2σ
ということです。
下記のような「標準正規分布表」を見てもよいし、このぐらいなら「正規分布」の特性から明らか（-2σ～2σ の範囲に 95.45% が入る）と即答もできそう。

標準正規分布表
↓
https://unit.aist.go.jp/mcml/rg-orgp/uncertainty …

No.1 回答者： ハイアードピープル 回答日時： 2024/10/19 16:59

やることは４つ。

どれが分からないか。

（１）４００回確率を投げた際に、表が出る回数Ｘが従う正規分布の期待値と分散の出し方

（２）Ｘ／４００－１／２（＝Ｙとする）の期待値μと分散σの出し方

（３）標準正規分布に従うように、Ｙを変数変換をする

（４）変数変換した後に、正規分布表を見て確率を出す