2024.10.8 12:12に質問した 2024.10.8 13:49に頂いた解答の 2024.1

2024.10.8 12:12に質問した

2024.10.8 13:49に頂いた解答の

2024.10.9 06:06の「質問者さんからお礼」
に書いた以下の文章について、質問がございます。


(テイラー展開する式を g(z)=Σ[k=0〜+∞] b(k)(z-π/2)^k (※g(z)=tan(z)(z-π/2))とおいて、
g(z)=Σ[k=0〜+∞] b(k)(z-π/2)^k (※g(z)=tan(z)(z-π/2))
の両辺をz-π/2で割って、
tan(z)のローラン展開する
tan(z)=Σ[h=-1〜+∞] b(h+1)(z-π/2)^hに変形していく内容として、)

「ありがとうございます。

>> そのテイラー展開を g(z) = Σ[k=0〜+∞] b(k)(z-π/2)^k と置くと

両辺を z-π/2 で割って tan(z) = Σ[h=-1〜+∞] b(h+1)(z-π/2)^h となり、

に関して、g(z) = Σ[k=0〜+∞] b(k)(z-π/2)^k の両辺を z-π/2 で割って tan(z) = Σ[h=-1〜+∞] b(h+1)(z-π/2)^h と導く際にg(z) = Σ[k=0〜+∞] b(k)(z-π/2)^k に含まれるkはどこに行ってしまったのでしょうか？


また、
2024.8.29 21:01の解答の

「
a(n)={1/(n+1)!}lim_(z->π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)は=-1に収束する為、
(z-π/2)tan(z)の式は正則であり、
微分出来る式
(z-π/2)tan(z)=tan(z)/(z-π/2)^(-2+1)
は積分も出来る為、
コーシーの積分定理により、
a(-2)={1/(2πi)}∫{|z-π/2|=r]{tan(z)/(z-π/2)^(-2+1)}dz=0
となります。
」

はn≦-2の時の場合の話で、


2024.8.29 19:23の解答の

「f(z)=tan(z)
の
z=π/2のまわりの
ローラン展開...

...nが偶数のとき

a(n)=a(2k)=0

となるのです」

はn≧-1の時の場合の話である為、

すなわち、n≦-2の時とn≧-1の時と異なるnの場合わけの話である為、


2024.8.29 19:23の解答はn≧-1の時の話である為、kに代入できる最小の値は、
tan(z)=Σ[k=0～∞]a(2k-1)(z-π/2)^(2k-1)の[k=0～∞]より、0であるが、

a(n)=a(2k)のkに0を代入した場合、a(n)=a(2k)=a(0)となり、


2024.8.29 21:01の解答はn≦-2の時の話である為、2024.8.29 21:01の解答に書いてあるa(-2)を導けないと理解したのですが、正しいでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。」



と書きましたが、

2024.8.29 21:01の解答はn≦-2の時の話であると私は書きましたが、

これは正しいでしょうか？


もし正しい場合、


「
2024.8.29 19:23の解答はn≧-1の時の話である為、kに代入できる最小の値は、
tan(z)=Σ[k=0～∞]a(2k-1)(z-π/2)^(2k-1)の[k=0～∞]より、0であるが、

a(n)=a(2k)のkに0を代入した場合、a(n)=a(2k)=a(0)となり、
」


の様に、


n≧-1の時のtan(z)=Σ[k=0～∞]a(2k-1)(z-π/2)^(2k-1)の[k=0～∞]の様な式や

n≦-2の時のkを含んだtan(z)の式や

n≧-1の時のa(n)=a(2k)=a(0)の様な式や

n≦-2の時のkを含んだa(n)の式があるならば
教えて頂きたいのです。



それとも、n≦-2の時はa(n)=0となる為、

n≦-2の時のkを含んだtan(z)の式や

n≦-2の時のkを含んだa(n)の式はないのでしょうか？

仮にa(n)=0となるとしても、

n≦-2の時のkを含んだtan(z)の式や

n≦-2の時のkを含んだa(n)の式が0になるまでの過程の計算を教えて頂けると嬉しいです。


どうかよろしくお願い致します。

質問者からの補足コメント

• こちらの質問は、2024.10.8 12:12の質問の
  2024.10.8 13:49のありものがたりさんからの解答の2024.10.9 06:06の「質問者さんからお礼」に書いた内容である為、ありものがたりさんに解答して頂けると嬉しいです。
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2024/10/16 08:27

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/10/16 13:06

n≦-2 となるすべてのnに対して

a(n)=0
となることをいいたいのだから

a(-3)≠0だとすると
の
部分のa(-3)≠0
を
a(-3)=0
としてしまうと
何の矛盾もおきないのだから何にも証明できないのです

a(-3)≠0だすると矛盾がおきるから
a(-3)=0であることの証明になるのです

2024.8.29 21:01の解答は
矛盾していないから
誤った解答ではありません
誤った解答ではないけれども
a(-2)=0
といっているだけで

n≦-2 となるすべてのnに対して
a(n)=0
となるとはいっていない
から不十分だといっているのです

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/10/16 11:29

その話は

n=-2のときa(-2)=0 といっているけれども
a(n)=0となるのは n=-2の場合だけではありません

n≦-2 となすべてのnに対して
a(n)=0
となるのです

なぜなら
例えばn=-3 に対して　a(-3)≠0だとすると

tan(z)=…+a(-3)/(z-π/2)^3+…

↓両辺に(z-π/2)をかけると

(z-π/2)tan(z)=…+a(-3)/(z-π/2)^2+…

↓z→π/2　とすると

lim[z→π/2](z-π/2)tan(z)=∞
と
発散して

lim[z→π/2](z-π/2)tan(z)=-1
となる
ことに矛盾するから

n≦-2 となすべてのnに対して
a(n)=0
とならなければならない

その話は
n≦-2の時の場合の話としては不十分な話だから適当ではない

この回答へのお礼

ありがとうございます。


>> なぜなら
例えばn=-3 に対して　a(-3)≠0だとすると

tan(z)=…+a(-3)/(z-π/2)^3+…

↓両辺に(z-π/2)をかけると

(z-π/2)tan(z)=…+a(-3)/(z-π/2)^2+…

↓z→π/2　とすると

lim[z→π/2](z-π/2)tan(z)=∞
と
発散して

lim[z→π/2](z-π/2)tan(z)=-1
となる
ことに矛盾するから



確かに
lim[z→π/2](z-π/2)tan(z)=∞
と
lim[z→π/2](z-π/2)tan(z)=-1
とでは、値が異なります。


あの、疑問があるのですが、
n≦-2の時にa(n)=0となるならば、
「a(-3)≠0だとすると」の部分のa(-3)≠0 はa(-3)=0ではないのではないでしょうか？


また、
矛盾点があるから以下の2024.8.29 21:01の解答は誤った解答になってしまっているのですね。
では正しい解答に書き直して頂けないでしょうか？

「
a(n)={1/(n+1)!}lim_(z->π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)は=-1に収束する為、
(z-π/2)tan(z)の式は正則であり、
微分出来る式
(z-π/2)tan(z)=tan(z)/(z-π/2)^(-2+1)
は積分も出来る為、
コーシーの積分定理により、
a(-2)={1/(2πi)}∫{|z-π/2|=r]{tan(z)/(z-π/2)^(-2+1)}dz=0
となります。
」

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2024/10/16 11:56

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/10/16 10:51

a(n)={1/(n+1)!}lim_(z->π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)

は
n≧-1のときに成り立つ式なのです

n≦-2 のとき
a(n)=0

n≧-1 のとき　
a(n)={1/(n+1)!}lim_(z->π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)
となるのです

lim[z→π/2](z-π/2)tan(z)=-1
だから
f(z)=tan(z) は　z=π/2 で 1位の極をもつから

n≦-2 のとき
a(n)=0
だから

tan(z)=Σ[n=-1～∞]a(n)(z-π/2)^n
tan(z)=a(-1)/(z-π/2)+a(0)+a(1)(z-π/2)+…

n≧-1 のとき　
a(n)={1/(n+1)!}lim_(z->π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)
となるのです

この回答へのお礼

ありがとうございます。

では、

2024.8.29 21:01の解答の

「
a(n)={1/(n+1)!}lim_(z->π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)は=-1に収束する為、
(z-π/2)tan(z)の式は正則であり、
微分出来る式
(z-π/2)tan(z)=tan(z)/(z-π/2)^(-2+1)
は積分も出来る為、
コーシーの積分定理により、
a(-2)={1/(2πi)}∫{|z-π/2|=r]{tan(z)/(z-π/2)^(-2+1)}dz=0
となります。
」

はn≦-2の時の場合の話という事で正しいでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2024/10/16 11:06

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/10/16 10:08

g(z) = Σ[k=0〜+∞] b(k)(z-π/2)^k

↓Σを使わないで書くと

g(z) = b(0)+b(1)(z-π/2)+b(2)(z-π/2)^2+b(3)(z-π/2)^3+…

↓両辺をz-π/2で割ると

g(z) = b(0)/(z-π/2)+b(1)+b(2)(z-π/2)+b(3)(z-π/2)^2+…

↓Σを使って書くと

tan(z)=Σ[h=-1〜+∞] b(h+1)(z-π/2)^h

この回答へのお礼

ありがとうございます。

書いて頂いた解答はn≧-1の時の解答だと思いますが、

私は、
n≦-2の時のkやtan(z)を含んだn≧-1の時のtan(z)=Σ[k=0～∞]a(2k-1)(z-π/2)^(2k-1)の[k=0～∞]の様な式や

n≦-2の時のkやa(n)を含んだn≧-1の時のa(n)=a(2k)=a(0)の様な式などがあるならば。

教えて頂きたいのです。

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2024/10/16 10:20