2024.10.8 12:12に質問した
2024.10.8 13:49に頂いた解答の
2024.10.9 06:06の「質問者さんからお礼」
に書いた以下の文章について、質問がございます。
(テイラー展開する式を g(z)=Σ[k=0〜+∞] b(k)(z-π/2)^k (※g(z)=tan(z)(z-π/2))とおいて、
g(z)=Σ[k=0〜+∞] b(k)(z-π/2)^k (※g(z)=tan(z)(z-π/2))
の両辺をz-π/2で割って、
tan(z)のローラン展開する
tan(z)=Σ[h=-1〜+∞] b(h+1)(z-π/2)^hに変形していく内容として、)
「ありがとうございます。
>> そのテイラー展開を g(z) = Σ[k=0〜+∞] b(k)(z-π/2)^k と置くと
両辺を z-π/2 で割って tan(z) = Σ[h=-1〜+∞] b(h+1)(z-π/2)^h となり、
に関して、g(z) = Σ[k=0〜+∞] b(k)(z-π/2)^k の両辺を z-π/2 で割って tan(z) = Σ[h=-1〜+∞] b(h+1)(z-π/2)^h と導く際にg(z) = Σ[k=0〜+∞] b(k)(z-π/2)^k に含まれるkはどこに行ってしまったのでしょうか?
また、
2024.8.29 21:01の解答の
「
a(n)={1/(n+1)!}lim_(z->π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)は=-1に収束する為、
(z-π/2)tan(z)の式は正則であり、
微分出来る式
(z-π/2)tan(z)=tan(z)/(z-π/2)^(-2+1)
は積分も出来る為、
コーシーの積分定理により、
a(-2)={1/(2πi)}∫{|z-π/2|=r]{tan(z)/(z-π/2)^(-2+1)}dz=0
となります。
」
はn≦-2の時の場合の話で、
2024.8.29 19:23の解答の
「f(z)=tan(z)
の
z=π/2のまわりの
ローラン展開...
...nが偶数のとき
a(n)=a(2k)=0
となるのです」
はn≧-1の時の場合の話である為、
すなわち、n≦-2の時とn≧-1の時と異なるnの場合わけの話である為、
2024.8.29 19:23の解答はn≧-1の時の話である為、kに代入できる最小の値は、
tan(z)=Σ[k=0~∞]a(2k-1)(z-π/2)^(2k-1)の[k=0~∞]より、0であるが、
a(n)=a(2k)のkに0を代入した場合、a(n)=a(2k)=a(0)となり、
2024.8.29 21:01の解答はn≦-2の時の話である為、2024.8.29 21:01の解答に書いてあるa(-2)を導けないと理解したのですが、正しいでしょうか?
どうかよろしくお願い致します。」
と書きましたが、
2024.8.29 21:01の解答はn≦-2の時の話であると私は書きましたが、
これは正しいでしょうか?
もし正しい場合、
「
2024.8.29 19:23の解答はn≧-1の時の話である為、kに代入できる最小の値は、
tan(z)=Σ[k=0~∞]a(2k-1)(z-π/2)^(2k-1)の[k=0~∞]より、0であるが、
a(n)=a(2k)のkに0を代入した場合、a(n)=a(2k)=a(0)となり、
」
の様に、
n≧-1の時のtan(z)=Σ[k=0~∞]a(2k-1)(z-π/2)^(2k-1)の[k=0~∞]の様な式や
n≦-2の時のkを含んだtan(z)の式や
n≧-1の時のa(n)=a(2k)=a(0)の様な式や
n≦-2の時のkを含んだa(n)の式があるならば
教えて頂きたいのです。
それとも、n≦-2の時はa(n)=0となる為、
n≦-2の時のkを含んだtan(z)の式や
n≦-2の時のkを含んだa(n)の式はないのでしょうか?
仮にa(n)=0となるとしても、
n≦-2の時のkを含んだtan(z)の式や
n≦-2の時のkを含んだa(n)の式が0になるまでの過程の計算を教えて頂けると嬉しいです。
どうかよろしくお願い致します。
A 回答 (4件)
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- 回答順に表示
No.4
- 回答日時:
n≦-2 となるすべてのnに対して
a(n)=0
となることをいいたいのだから
a(-3)≠0だとすると
の
部分のa(-3)≠0
を
a(-3)=0
としてしまうと
何の矛盾もおきないのだから何にも証明できないのです
a(-3)≠0だすると矛盾がおきるから
a(-3)=0であることの証明になるのです
2024.8.29 21:01の解答は
矛盾していないから
誤った解答ではありません
誤った解答ではないけれども
a(-2)=0
といっているだけで
n≦-2 となるすべてのnに対して
a(n)=0
となるとはいっていない
から不十分だといっているのです
No.3
- 回答日時:
その話は
n=-2のときa(-2)=0 といっているけれども
a(n)=0となるのは n=-2の場合だけではありません
n≦-2 となすべてのnに対して
a(n)=0
となるのです
なぜなら
例えばn=-3 に対して a(-3)≠0だとすると
tan(z)=…+a(-3)/(z-π/2)^3+…
↓両辺に(z-π/2)をかけると
(z-π/2)tan(z)=…+a(-3)/(z-π/2)^2+…
↓z→π/2 とすると
lim[z→π/2](z-π/2)tan(z)=∞
と
発散して
lim[z→π/2](z-π/2)tan(z)=-1
となる
ことに矛盾するから
n≦-2 となすべてのnに対して
a(n)=0
とならなければならない
その話は
n≦-2の時の場合の話としては不十分な話だから適当ではない
ありがとうございます。
>> なぜなら
例えばn=-3 に対して a(-3)≠0だとすると
tan(z)=…+a(-3)/(z-π/2)^3+…
↓両辺に(z-π/2)をかけると
(z-π/2)tan(z)=…+a(-3)/(z-π/2)^2+…
↓z→π/2 とすると
lim[z→π/2](z-π/2)tan(z)=∞
と
発散して
lim[z→π/2](z-π/2)tan(z)=-1
となる
ことに矛盾するから
確かに
lim[z→π/2](z-π/2)tan(z)=∞
と
lim[z→π/2](z-π/2)tan(z)=-1
とでは、値が異なります。
あの、疑問があるのですが、
n≦-2の時にa(n)=0となるならば、
「a(-3)≠0だとすると」の部分のa(-3)≠0 はa(-3)=0ではないのではないでしょうか?
また、
矛盾点があるから以下の2024.8.29 21:01の解答は誤った解答になってしまっているのですね。
では正しい解答に書き直して頂けないでしょうか?
「
a(n)={1/(n+1)!}lim_(z->π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)は=-1に収束する為、
(z-π/2)tan(z)の式は正則であり、
微分出来る式
(z-π/2)tan(z)=tan(z)/(z-π/2)^(-2+1)
は積分も出来る為、
コーシーの積分定理により、
a(-2)={1/(2πi)}∫{|z-π/2|=r]{tan(z)/(z-π/2)^(-2+1)}dz=0
となります。
」
どうかよろしくお願い致します。
No.2
- 回答日時:
a(n)={1/(n+1)!}lim_(z->π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)
は
n≧-1のときに成り立つ式なのです
n≦-2 のとき
a(n)=0
n≧-1 のとき
a(n)={1/(n+1)!}lim_(z->π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)
となるのです
lim[z→π/2](z-π/2)tan(z)=-1
だから
f(z)=tan(z) は z=π/2 で 1位の極をもつから
n≦-2 のとき
a(n)=0
だから
tan(z)=Σ[n=-1~∞]a(n)(z-π/2)^n
tan(z)=a(-1)/(z-π/2)+a(0)+a(1)(z-π/2)+…
n≧-1 のとき
a(n)={1/(n+1)!}lim_(z->π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)
となるのです
ありがとうございます。
では、
2024.8.29 21:01の解答の
「
a(n)={1/(n+1)!}lim_(z->π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)は=-1に収束する為、
(z-π/2)tan(z)の式は正則であり、
微分出来る式
(z-π/2)tan(z)=tan(z)/(z-π/2)^(-2+1)
は積分も出来る為、
コーシーの積分定理により、
a(-2)={1/(2πi)}∫{|z-π/2|=r]{tan(z)/(z-π/2)^(-2+1)}dz=0
となります。
」
はn≦-2の時の場合の話という事で正しいでしょうか?
どうかよろしくお願い致します。
No.1
- 回答日時:
g(z) = Σ[k=0〜+∞] b(k)(z-π/2)^k
↓Σを使わないで書くと
g(z) = b(0)+b(1)(z-π/2)+b(2)(z-π/2)^2+b(3)(z-π/2)^3+…
↓両辺をz-π/2で割ると
g(z) = b(0)/(z-π/2)+b(1)+b(2)(z-π/2)+b(3)(z-π/2)^2+…
↓Σを使って書くと
tan(z)=Σ[h=-1〜+∞] b(h+1)(z-π/2)^h
ありがとうございます。
書いて頂いた解答はn≧-1の時の解答だと思いますが、
私は、
n≦-2の時のkやtan(z)を含んだn≧-1の時のtan(z)=Σ[k=0~∞]a(2k-1)(z-π/2)^(2k-1)の[k=0~∞]の様な式や
n≦-2の時のkやa(n)を含んだn≧-1の時のa(n)=a(2k)=a(0)の様な式などがあるならば。
教えて頂きたいのです。
どうかよろしくお願い致します。
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