変分法に関係する問題

ｙ＝ａｂ
ｂ＝ａの関数
としたとき、ａ，ｂが微小な時には、
ｄｙ＝ｂｄａ＋ａｄｂ
になりますか。

また、
同様にｙ、ｙ’が関係あっても、微小な時には、

ｄｆ＝ーー＞下図になりますか？

質問者からの補足コメント

• 

  １はいいのですね！
  
  ２ですが、
  テイラーの定理まで行かなくでも・・・
  g(s)をｓで微分してｓをかければいいのでは？
  sが無限小では・・・

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2025/02/07 19:48

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/02/07 19:00

ひとつめ：

なります。
それは単に、積の微分公式 (d/da)(ab) = b + a(db/da) です。

ふたつめ：
なるとは限りません。
δy を固定して、スカラー s の関数 g(s) = f(x,y+sδy,y’+sδy’) を考えましょう。
g(s) をマクローリン展開すると、g(s) = g(0) + g’(0)s + R(s)
ただし R(s) はテイラーの定理の剰余項で lim[s→0] R(s)/s = 0 となる何かです。
初等的な計算によって g’(0) = (∂f/∂y)δy + (∂f/∂y’)δy’ ですから、
s = 1 を代入すると、 f(x,y+δy,y’+δy’) - f(x,y,y’) = (∂f/∂y)δy + (∂f/∂y’)δy’ + R(1)
になります。右辺の R(1) が余計ですね。
lim[s→0] R(s)/s = 0 ではありますが、R(1) = 0 とは限らないので、
あなたの公式は成り立ちません。