たくさんの赤球と白球があり、両者は同じ数量とします。このなかから１９個の玉を無作為に取り出します。

Question

たくさんの赤球と白球があり、両者は同じ数量とします。
このなかから１９個の玉を無作為に取り出します。

質問は、取り出した球が、赤球１４個・白球５個になる確率はどのくらいですか？

ありものがたり · Accepted Answer

玉の総数が膨大だったとすると、
毎回、赤球と白球が出る確率は 1/2 づつですね。
それが ｎ 回独立反復されるなら、
そのうち k 回が赤球である確率は
二項確率 (nCk){ (1/2)^k }{ (1/2)^(n-k) } です。

質問にある n = 19, k = 14 の場合は、
確率 (19C14){ (1/2)^14 }{ (1/2)^5 } = (19C5) (1/2)^19
　　= { 19・18・17・16・15/(5・4・3・2・1) } / 2^19
　　= 19・9・17 / 2^17
　　= 2907 / (1024・128)
　　= 0.02217...
　　≒ 0.022

2.2% くらいですよ。

ありものがたり · Answer

いや、だから No.2 No.3
「たくさん」なら 1 個取り出そうが 19 個取り出そうが
母集団の赤白比が変化しない とみなせるだろうから、
非復元抽出と復元抽出の区別がない ってのが、
この問題が二項分布と解釈できる理由だろうと思う。
復元抽出だとは書いてないからね。
母集団が有限個では、そこが台無しだ。

kamiyasiro · Answer

No.6様に意見。

『「たくさん」なら有限個取り出しても「たくさん」のまま』じゃなくて、『取り出した後、元に戻さなくても「たくさん」まま』と言うべきです。

また、取り出すのが「有限個」なのが問題では無く、「母集団が有限個」で「非復元抽出」することが問題なのです。

なお、復元抽出なら、赤球１個白球１個という有限母集団でも結果は同じです。

つまり、

・非復元抽出であっても、母集団が大量であれば、復元抽出と見なしても良く、その出現確率は二項分布に従う。
・有限母集団から、非復元抽出をすると、その出現確率は超幾何分布に従う。

ちなみに、有限母集団から非復元抽出するときの影響は、標本平均のばらつきに顕著に現れます。

MitTKG · Answer

＞たくさんの赤球と白球があり、両者は同じ数量とします。
＞このなかから１９個の玉を無作為に取り出します。

赤玉が０個になる確率　０．０００１９１％
赤玉が１個になる確率　０．００３６２％
赤玉が２個になる確率　０．０３２６％
赤玉が３個になる確率　０．１８５％
赤玉が４個になる確率　０．７３９％
赤玉が５個になる確率　２．２２％
赤玉が６個になる確率　５．１８％
赤玉が７個になる確率　９．６１％
赤玉が８個になる確率　１４．４％
赤玉が９個になる確率　１７．６％
赤玉が１０個になる確率　１７．６％
赤玉が１１個になる確率　１４．４％
赤玉が１２個になる確率　９．６１％
赤玉が１３個になる確率　５．１８％
赤玉が１４個になる確率　２．２２％
赤玉が１５個になる確率　０．７３９％
赤玉が１６個になる確率　０．１８５％
赤玉が１７個になる確率　０．０３２６％
赤玉が１８個になる確率　０．００３６２％
赤玉が１９個になる確率　０．０００１９１％

ポイント
・「たくさん」なら有限個取り出しても「たくさん」のまま
・全部赤玉がそろう確率は (1/2)^19
・あとは順列組み合わせの問題
・確率は全部足すと１になる（桁数による誤差はある）
・赤玉と白玉を入れ替えると同じ確率

kamiyasiro · Answer

No.4です。

ごめんなさい。ごめんなさい。
引数の与え方を間違えていました。

dhyper(5, 19, 19, 19)
[1] 0.003825417

No.1様の解と一致しました。

No.1様は総数38個の有限母集団からの非復元抽出として、幾何分布を適用して解いてみえました。

引数は、最初から順に、目標物の数、赤球の数、白球の数、取り出し数とすべきでした。

目標物の数を5個を14個に変えても、同じ確率です。

> dhyper(14, 19, 19, 19)
[1] 0.003825417

kamiyasiro · Answer

では、総数38個の有限母集団でやってみましょう。

ちなみに、19個を総数38個中から取り出すこととし、そのうち目標物は5個を19個中から取り出すとしたときの、超幾何分布の確率は、

dhyper(19, 38, 5, 19)
[1] 0.0441555

あれれ、これも計算結果が違いましたね。

kamiyasiro · Answer

球は大量にあることから、いちいち戻さずに同時に19個取り出したとしても復元抽出とみなし、「二項分布」で計算します。

P(5|19)＝19C5・(1/2)^5・(1－1/2)^(19ー5)
＝11628×0.03125×6.103516e-05
＝0.0222

私はRで計算しています。
choose(19, 5) * (1/2)^19
＝0.02217865

2.2％です。
あれれ、計算結果が違いましたね。

No.1様はそれぞれ19個と書いてみえるから、超幾何分布で計算されたのでしょうか。ちなみに、有限母集団から非復元抽出するときは超幾何分布になります。

戸愚呂妹 · Answer

赤血球と白血球が同じ数量（それぞれ19個）ある中から、19個の玉を無作為に取り出し、そのうち赤血球が14個、白血球が5個になる確率は約 0.0038 です。

たくさんの赤球と白球があり、両者は同じ数量とします。 このなかから１９個の玉を無作為に取り出します。

玉の総数が膨大だったとすると、

いや、だから No.2 No.3

No.6様に意見。