単振動の周期の公式について。F＝-kxのときなぜあのT＝2Π√m/kなのでしょうか。このmについてき

単振動の周期の公式について。F＝-kxのときなぜあのT＝2Π√m/kなのでしょうか。このmについてきになったのでしらべるとk＝mw²だからとしりました。しかし写真の問題ではkがpSgにあたりmw²ではありませんでした。なのに(5)ではT=√m/kをつかっていましたなぜでしょうか。

No.6 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2025/04/01 14:40

No.3&4 です。

＞x=ーとおけばがよくわかりません

「微分」を理解していないのなら、それ以上のことはあきらめてください。

「単振動の変位・速度は、三角関数で表わされる」ということを天下りで「そういうものだ」と理解するしかありません。
https://wakariyasui.sakura.ne.jp/p/mech/tann/tan …

この回答へのお礼

理解できました。難しく考えすぎていたようです。いつもいつも丁寧にありがとうございます

お礼日時：2025/04/01 15:07

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/04/01 12:39

k = mω^2 は 単振動での ωとkの関係を表しているだけです。

k の定義じゃありません。

kの意味をよく表しているのは F = -kx ですね。
変異(dやx)に比例して変異の逆方向に発生する力があるなら
その比例定数が k。

kがばね定数なら ばね固有の値。
この問題なら ρSg で良いのです。

k と振動する物体の質量がわかれば ω=√(k/m)で角周波数が
求まります。

この回答へのお礼

それの証明が微分方程式でないとだめということですか

お礼日時：2025/04/01 14:11

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2025/04/01 10:12

No.3 です。

追加でひとこと。

#3 に書いた
　x = sin(wt)
　x = cos(wt)
などは「特殊解」ですが、一般解は A, B を任意の定数として
　x = Asin(wt) + Bcos(wt)　　　　④
になります。

試しに、④を #3 の①に代入してみてください。
そうすれば
　w^2 = k/m
になるはず。

この「w」（通常はギリシャ文字の「ω」を使う）が「角振動数」（単位は「1/s」）で、三角関数が１周期の「2パイ　[ラジアン]」になる「周期 T [s]」が
　wT = 2パイ
より
　T = 2パイ/w [s]
ということになります。

（注）ちなみに、ばね定数は k [N/m] で、[N] = [kg･m/s^2] ですから
　w^2 = k [kg/s^2] / m[kg] = [1/s^2]
となって、w の単位は [1/s] になりますね。

この「角振動数 w」は、単振動を表わす三角関数の引数の中の「時間に関する定数」であり、ばね振動に限らず「単振動」には共通のものです。
高校物理で習う「単振動」は主に「ばね振動」ですが、そこでの考え方はすべての単振動減少に応用できるのです。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2025/04/01 00:35

No.2 です。

またまた「お礼」に書かれたとことについて。

＞そこまでわかります。

はい。

＞ただkがそのようにあたえられたとき角速度wがkのなかにはいっておらず、教科書での証明はkのなかにwがある(k=mw²)から周期を出せてあの公式が言えたものだったのでその違いが疑問だったんです

えっ？

ばねの場合には
　F = -kx
より、運動方程式
　F = ma
とから
　ma = -kx　　　　　①
この式から
　mw^2 = k
が出て来くるのです。

もし「微分」が分かっていれば
　a = dv/dt = d²x/dt²
なので
　x = sin(wt)　　　　②
とおけば
　v = dx/dt = w･cos(wt)
　a = dv/dt = -w^2･sin(wt) = -w^2･x
となって、
　w^2 = k/m　　　　③
にすれば①式になりますよね。
つまり②は①の解のひとつになっているのです。
（x = cos(wt) とおいても①式を満足しますから、②は「一般解」ではなく「特殊解」ですが、特殊解でも一般解でも ③ は成立します）

ばねであっても問題の場合であっても、①の形の運動方程式からは③が成り立つことになります。

その③が、お示しの問題場合には
　m = ρ0･SL
　k = ρSg
になっているのです。③をこれで置き換えれば
　w^2 = ρg / (ρ0･L)
→　w = √[ρg / (ρ0･L)]

この回答へのお礼

x=ーとおけばがよくわかりません

お礼日時：2025/04/01 14:13

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2025/03/31 23:26

No.1 です。

「お礼」に書かれたことについて。

＞教科書ではk=mw²としたときw＝√k/mでT=2pie/wなので公式が導けるとなっています。今回のときはk=pSgだから謎なんです

最初のつり合い位置から x だけ沈んだときの浮力は
　F = ρS(d - x)g
従って、働く外力は「浮力と重力の差」なので、円柱の質量
　m = ρ0･SL
を使い、上向きを正として
　f = F - mg = ρS(d - x)g - ρ0･SLg = -(ρSg)x + ρSdg - ρ0･SLg

(1) の結果
　d = ρ0･L/ρ
を使って
　f = -(ρSg)x + Sρ0･Lg - ρ0･SLg
　　= -(ρSg)x

よって、ばねの式 f = -kx としたときとの比較で
　k = ρSg
です。

この回答へのお礼

ごめんなさい言い方が悪かったですそこまでわかります。ただkがそのようにあたえられたとき角速度wがkのなかにはいっておらず、教科書での証明はkのなかにwがある(k=mw²)から周期を出せてあの公式が言えたものだったのでその違いが疑問だったんです

お礼日時：2025/03/31 23:34

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2025/03/31 21:05

＞単振動の周期の公式について。

F＝-kxのときなぜあのT＝2Π√m/kなのでしょうか。

それは、大学に行って「速度は位置（座標）の一階微分、加速度は速度の一次微分ですなわち位置（座標）の二階微分」ということを知らないと理解できないでしょう。
なので、高校物理では「公式」としてそのように教わるしかありません。

この問題では、浮力と重力を受けた物体は、「重力とばね復元力を受けた物体」と同じ運動するということを想像できるかどうかを問うています（浮力もばねの復元力も、変位に比例した力）。

＞なのに(5)ではT=√m/kをつかっていましたなぜでしょうか。

上に書いたように、「鉛直ばね」と同じ物理現象であることを「想像する」ことがこの問題のポイントだからです。

(4) は、「鉛直ばね」の「重力による位置エネルギー」「ばねの弾性エネルギー」「初期位置での運動エネルギー」を使って解きませんでしたか？

この回答へのお礼

二行目まではわかります。教科書ではk=mw²としたときw＝√k/mでT=2pie/wなので公式が導けるとなっています。今回のときはk=pSgだから謎なんです

お礼日時：2025/03/31 21:44