平均値と、中央値の違いを教えてください。

Question

LHS07 · Accepted Answer

平均値は全ての数を足してその母数の数で割った値で

中央値は小さい順に並べて中間の値です。

10，15，20，25，35
とあった場合

平均値は
　ー
　ｘ＝（10＋15＋20＋25＋35）÷5＝２１

中間値は
　　　２０

kamiyasiro · Answer

No.3です。

図の訂正をさせて下さい。

一番左の、「平方損失→期待値」は、正しくは「平方損失→平均値」です。

整理すると、
損失関数を平方損失としたときの「期待値（１次の積率）が平均値」、
損失関数を絶対損失としたときの「期待値（１次の積率）が中央値」、
となります。

平均値も中央値も「期待値」なのです。
それを数式で証明してあります。期待値の定義に沿って１次の積率を計算しています。

まあ、数理系の大学生でないのであれば、知らなくても良い知識です。

yhr2 · Answer

No.2 です。
もう一つ極端な例を。

100人の集団で、1人は「１億円」の資産を持ち、他の99人は一文無しとします。
その集団の平均資産は
　(1億 *1 + 0 * 99)/100 = 百万円
になります。

でも99％は一文無し、当然中央値も「資産 0 円」です。

その集団を、「平均資産 百万円」だから「そこそこ裕福な集団」といえますか？

kamiyasiro · Answer

もし、ご質問者が大学生なら、これって、難しい問題です。

大学の統計学・データサイエンスの授業での課題なら、次の定義になります。こう回答して下さい。
①平均値は平方損失を最小化した代表値であり、
②中央値は絶対損失を最小化した代表値です。
（添付図）

また、No.2様が述べられた期待値ですが、厳密には期待値と平均値は違います。
期待値の定義は「１次の積率」であり最尤推定量です。平均値の定義は上記ですが、正規分布やポアソン分布など多くの分布で両者は一致します（期待値＝平均値）。

しかし、一様分布では、平方損失で求めた平均値と、最尤推定から求めた期待値は一致しません。

また、対数正規分布の平均値は「幾何平均（相乗平均）」です。算術平均とはまったく別物ですので、注意が必要です。
（対数化前のμとσから、対数正規分布の期待値を算出する式が存在します）

話は変わって、中央値についてですが・・・、
中央値を含む「分位点」の決め方は３つ存在します。
・文科省方式
・箱ひげ図の発案者テューキーによる方式
・計算機方式
です。第１・第３四分位点が違ってきますので、こちらも注意が必要です。

yhr2 · Answer

ある任意の１つを取り出したときの「期待値」が「平均値」であり、
順番に並べたときの真ん中のものの値が「中央値」です。

極端な話をすれば「10 人のクラスのテストの結果が、6人が100点、4人が0点」であれば

平均値：(100 * 6 + 0 * 4)/10 = 60 点
中央値：上位から5番目の人は100点、6番目の人も100点なので、中央値は「100 点」

同じクラスで「10 人のクラスのテストの結果が、4人が100点、6人が0点」であれば

平均値：(100 * 4 + 0 * 6)/10 = 40 点
中央値：上位から5番目の人は0点、6番目の人も0点なので、中央値は「0 点」

になります。

どちらも「集団の特性を正しく表している」とはいえませんね。
しいていえば「平均値」の方がそれに近いといえるかも。

多数のランダムなサンプルによる正規分布であれば「平均値」と「中央値」はほぼ一致すると思いますが、現実の集団では異なるのが普通です。
どういった数値を「集団の特性」とするかで、ものの言い方は大きく変わります。「統計でウソをつく」のによく使われるトリックです。

平均値は全ての数を足してその母数の数で割った値で