この極限値

lim(ｘ→∞)ｔａｎｘ/ｘの値をあるソフトで計算させたら
０と出ました。

lim(ｘ→∞)ｓｉｎｘ/ｘ＝０はわかり、
lim(ｘ→∞)１/ｃｏｓｘが振動するのもわかるので、
感覚的には

lim(ｘ→∞)ｔａｎｘ/ｘは振動するような気がするのですが。
どなたかすっきり説明できる方はいらっしゃいませんか。

No.4 回答者： sggk 回答日時： 2005/07/24 00:35

No.2です。

極限値がlim(x→０)x/ｅ＾x ＝ lim(x→０)1/ｅ＾xとならない件ですが、最初の式が不定形(0/0や∞/∞)になっていないですよね？(0/1だから微分するまでもなく0です。)
参考URLの下方にロピタルの定理の説明があるので、そこを読んでみてください。
で、本題ですが、tanx/xについては、x→∞のとき、tanxをどう考えるかに尽きると思います。tanxはxをいくら大きくしても、値は-∞～∞の値をとりうるので、この時点で極限は存在しないことになるはずです。仮にtanx→∞と仮定したとしても、ロピタルの定理で振動するわけですから、極限値は定まらないことがいえます。
コンピュータで計算させた結果やグラフは、分母のxが大きくなって、tanxの変化が見えにくくなる((n+1/2)πぎりぎりに近づくまでtanx/xの値がなかなか大きくならない)ことが原因かと思います。

非常にわかりにくし説明かもしれないですが、他の方々の回答と合わせて考えてもらえればたぶん分かると思います。またわからなければ質問してください。

参考URL：http://www.altum.jp/math/note/ra.html

No.3 回答者： mech32 回答日時： 2005/07/19 22:42

当然、コンピュータは「∞」という値を代入できませんので、そのかわりに、「非常に大きな値」を用いる場合があります。

そこで例えばxに、

100000000000000000000000000

を代入すると

lim(ｘ→∞)tanx/x=0.000000000000000

となって、コンピュータはこれを「0」と判断します。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
一応ちゃんとした数学のソフトだと思うので、ある大きな値を代入しただけではないと思うのすが、やはり確信が持てません。まだ気になっています。

お礼日時：2005/07/22 17:50

No.2 回答者： sggk 回答日時： 2005/07/19 22:27

ｘ→0の間違いじゃないですかね？

lim(x→∞)f(x)/g(x) ＝ lim(x→∞)f'(x)/g'(x)
の公式を使えば、

lim(x→∞)tanx/x ＝ lim(x→∞)1/cos^2xとなり、
分母が振動するので、値は不定となるはずです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
確かに元々はｘ→０の間違いだったのですが、
ではｘ→∞だったらどうなるのだろう？と考えたわけです。
記入していただいた、ロピタルの定理を用いた方法は私も考えましたが、もともとｔａｎｘ/ｘが不定形でない場合、ロピタルの定理を用いて良いのか確信がもてなかったので、正しいかどうかいまだに分からずにいます。
（例えば
lim(x→０)x/ｅ＾x ＝ lim(x→０)1/ｅ＾xとはならないですよね。）

お礼日時：2005/07/22 17:49

No.1 回答者： sudoufu 回答日時： 2005/07/19 22:12

振動も何も不定なんじゃ。

tanxは区間[-π/2+Zπ,π/2+Zπ]を[-∞,+∞]で動き、かつπ/2+Zπは不連続。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
確かにｔａｎｘについてはそうなのですが、数学のソフトで計算させた結果が０になったのが気になったので。
ｙ＝ｔａｎｘ/ｘのグラフも書いてみたのですが、うまく表示されず、０に収束しているようにも見えなくもないグラフが出てきたので、結局、まだ何が正しいのか確信できずにいます。

お礼日時：2005/07/22 17:44