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二つの解(α,β)がともに正の場合というのは、
判別式D>=0,かつα+β>0かつαβ>0の時と参考書に書いてありました。
α,βが虚数であったらどうなるのでしょうか?
例えばα=iとβ=4iが解だとすると、iが正なのか負なのかよくわかりませんが、正だとして解釈すると、二つの解が共に正の場合の条件でi+4i>0はわかりますが、i*4i<0になってしまうとおもうのですが、どうしてこうなるのでしょうか?
iは虚数であって実数でないので、正とか負だとか考えてはいけないのでしょうか?
だとすると、問題で、「異なる二つの正の解をもつとき」と書かれていた時は、実数の正の解が二つと考えればいいのでしょうか?

A 回答 (5件)

高校数学において、2次方程式は係数が実数の場合を問題にします。


ご指摘のα=iとβ=4iが解の場合、解と係数の関係から、元の方程式は
a{x^2-5ix-4)=0となり、aを0以外のどんな数にしても係数がすべて実数になることはありません。

実数係数で無い場合はそもそも判別式の意味がかわってきます。本来代数方程式の判別式とは、重解があるかどうかを判別するためのものです。ただ実数係数の2次方程式の場合、特にそれ以外のことも判別できる、というものです。

ここで注意するのは、実数係数とはっきりことわってあることです。
高校段階での判別式の導き方が解の公式の√の中である以上、そこが正か負かで虚数がでてくるのを判定しているのですから、虚数を代入すると無意味になりますね。

最後に虚数に正負はありません。正と負は0との大小関係ですが、例えばi>0
とすると両辺に正の数をかけても大小関係はかわらないので、i×i>0×iとなるはずですが、実際は-1>0という間違った式になります。つまり正負、大小の関係は虚数にはないのです。

>だとすると、問題で、「異なる二つの正の解をもつとき」と書かれていた時は、実数の正の解が二つと考えればいいのでしょうか?

その通りです。
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この回答へのお礼

なるほどーわかりました。
皆さん回答ありがとうございました。

お礼日時:2005/08/04 16:47

複素数に大小関係はありません。



したがって、α、βの大小関係に関する記述があった瞬間に、α、βは実数ということになり、従って、自動的に判別式≧0ということになります。

注!:数そのものの大小関係ではなく、「絶対値」の大小関係はありますので、「絶対値」が題材になっている場合は、複素数(実数を含む)の範囲で考える必要があります。
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補足ですが、虚数単位を含んだ数(複素数含む)には、大小関係は定義されません。


従って、i 自体は、正でも負でもありません。

ただし、「大きさ」は定義できます。
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>「異なる二つの正の解をもつとき」と書かれていた時は、実数の正の解が二つと考えればいいのでしょうか?


それでいいと思います。
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α,βが虚数であったら判別式D<0となります。

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この回答へのお礼

あ、そうですね。
回答ありがとうございました。

お礼日時:2005/08/04 16:40

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Aベストアンサー

No.6です。No.2の回答がめちゃくちゃだったので、私なりの回答の完成版を載せます。

2つの実数解があることから、判定式は
  a^2 - a + 6 > 0
  (a - 1/2)^2 + 23/4 > 0
なので、全ての a で実数解を持つ。

このとき
  x^2 - 2ax + a - 6 = 0
の解は
  x = 2a ± 2√(a^2 - a + 6)

a<0 のときには、一方の解
  x = 2a - 2√(a^2 - a + 6)

  2a<0 かつ -2√(a^2 - a + 6)<0
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つまり
   a^2 > a^2 - a + 6
より
   0 > - a + 6
よって
   6 < a
これは 0 < a の条件を満たす。
従って、求める条件は 6 < a である。

No.6です。No.2の回答がめちゃくちゃだったので、私なりの回答の完成版を載せます。

2つの実数解があることから、判定式は
  a^2 - a + 6 > 0
  (a - 1/2)^2 + 23/4 > 0
なので、全ての a で実数解を持つ。

このとき
  x^2 - 2ax + a - 6 = 0
の解は
  x = 2a ± 2√(a^2 - a + 6)

a<0 のときには、一方の解
  x = 2a - 2√(a^2 - a + 6)

  2a<0 かつ -2√(a^2 - a + 6)<0
なので、少なくとも一方の解は負になる。
従ってa<0 は不適。

0 < a のときには、2つの解がともに正であるためには
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――――――――――

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α+β=-a・・・・(1)

αβ=b・・・・・・(2)

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解と係数の関係より

(α+β)+(α-β)=-b

(α+β)(α-β)=a


――――――――――

ここまでは考えたのですが、この後どうしたらいいのかわからず悩んでいます。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

こんばんは。

α + β = -a  ・・・(あ)
αβ = b  ・・・(い)
(α+β) + (α-β) = -b  ・・・(う)
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という連立方程式になります。

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また、掛け算が入っている連立方程式ですので、
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