重解とは？？

ｎ次方程式はn個の解を持つと言われていますが、すると二次方程式の重解とは、解が一つという意味ではなく、あくまで二つの解が重なっていると考えるものなのでしょうか？
もしそうだとすると、まったく同じ値を取るものをわざわざ二つと考えなければならないことに頭がひん曲がりそうです。

No.2 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2005/09/01 19:32

2次方程式の2根が一致するとき重根と言っていますが、重解と同じものですね。

(x-1)^2＝x^2 -2x +1＝0
におけるx＝1は重解（重根）ですね。
方程式が二次方程式であることは明らかで2根を持ち、その２根が一致したということですね。

次の３次方程式でも
(x-1)^3＝0 も三重解を持つわけですね。

次の７次方程式は７個の解を持ちますが、x=1が５重解、x=2が２重解というわけですね。
(x-1)^5 (x-2)^2＝0

この回答へのお礼

仰っていただいたように、根の概念を忘れていました。ありがとうございます！

お礼日時：2005/09/05 02:01

No.5 回答者： ishun_xeno 回答日時： 2005/09/03 09:33

数学の世界では、なるべく単一の考え方で済むようにして、物事をすっきりさせようとします。

この場合は、「二次方程式の解は、いつでも二つ。（ただし、その二つがたまたま一致する場合もある）」と考える方がすっきりなのです。

「この場合は解が二つ、この場合は解が一つ」と分類して考えようとすると、かえって頭がひん曲がってしまいます。

例えば二次方程式の解の公式も、解が一つの場合・二つの場合の二種類用意するよりも、一種類で済ませたほうが簡単でしょう？

《余談》虚数が考えられる以前は、二次方程式に解がある場合・ない場合という分類が必要でしたが、複素数の範囲で考えることでいつでも解があることになり、話が簡単になったのです。

No.4 回答者： shkwta 回答日時： 2005/09/02 00:09

xの整式 f(x)が、f(x)=g(x)h(x) と因数分解できたとします。

方程式 f(x)=0 を解いたら、x=α という解が得られたとします。これは、

g(α)=0 または h(α)=0

を意味します。もし、その両方だったら、つまり、

g(α)=0 かつ h(α)=0

であれば、２つの方程式 g(x)=0, h(x)=0 の解がたまたま一致してαになった、ということです。
この場合、αはf(x)=0の少なくとも二重解です。
ここでもし、g(x)=j(x)k(x) とさらに因数分解できて、j(α)=0 かつ k(α)=0 であれば、

h(x)=0, j(x)=0, k(x)=0

この３つの方程式が、同じαという解をもつということで、αはf(x)=0の少なくとも三重解です。


このように、因数分解して得られたそれぞれの方程式が、たまたま同じ解をもつというように考えればよいと思います。

No.3 回答者： quantum2000 回答日時： 2005/09/01 20:16

色々な考え方が出来るとは思いますが、質問者さんのおっしゃるとおり、

「ｎ次方程式はn個の解を持つ」
ということなので、例えば二次方程式は、常に「２つの解を持つ」という事になります。

ところが、二次方程式が常に持つ２つの解が、たまたま一致する場合もある訳で、その時も「２つの解を持つ」とするためには、「元々２つある解が重なって、見かけ上は１つしかない」という特別な場合だと解釈する、という訳です。Ｎｏ．１さんのおっしゃるように「解の（値）は１種類で、２個ある」ということ。

例：
　ｘ－３ ＝ ０ の解は、ｘ＝３ の１種類１個。
（ｘ－３）^2 ＝ ０ の解は、ｘ＝３，３ の１種類２個。

ですから、重解の場合は（実際は）解は１つ、ということで考えても構わないと思いますが。

No.1 回答者： keydaimon 回答日時： 2005/09/01 19:17

そのとおりです。

二つの解が重なったという、まさに特殊な状況を重解といいます。

しかし考え方もいろいろあるようで、重解のときの解の個数は１個と数える人もいれば、２個と数える流儀もあるようです。

結局とりうる解の種類は１種類なのですが、それをどう数えるかが問題なんでしょうね。