今、大学受験生なのですが、どうしてもわからない問題があります。

xy平面上で曲線√X+√Y=1は放物線の一部(放物弧)であることを示せ。

という問題なのですが、どのように証明したらよいのでしょうか?
誰か、教えていただけませんでしょうか?

A 回答 (1件)

こんにちは。


式を書き換えたらどうなるでしょう?
両辺を二乗すると、
X+2√XY+Y=1
(1-(X+Y))^2=4XY
1-2(X+Y)+(X+Y)^2=4XY
1-2(X+Y)+(X-Y)^2=0
2(X+Y)=(X-Y)^2+1
となりますよね。
ここでX+Y=y,X-Y=xとすると、この式は
2y=x^2+1という2次曲線(放物線)の式になります。

また、この場合のx軸はX-Y=0の直線、つまりY=Xですね。
そしてy軸はX+Y=0の直線、つまりY=-Xですね。
この2つは書いてみると分かるのですが、直交してます。
となると、この2つの軸は要するに通常のXY軸ではなく、
45度回転した軸をそれぞれx軸、y軸とする2次曲線であると見ることができます。

分かりますか?
ただし、つらつら考えながら書いたので、学生さんの授業でいう正答であるかは
わかりません。ごめんなさい。
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この回答へのお礼

とても、わかりやすかったです。ありがとうございました。

お礼日時:2001/11/12 14:25

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どなたか教えていただけないでしょうか。正解はabc/90になります。

Aベストアンサー

#2です。

問題の解釈が違っているようでしたので

A#2の補足の通りに
{(x,y,z)|√(x/a)+√(y/b)+√(z/c)<=1,x>=0,y>=0,z>=0(a,b,c>0)}の体積
として
質問者さんの計算通りにやってみると正しい答えが出てきます。
補足の途中までは正しいので省略して間違い箇所から書くと
>V=∫(0→π/2)∫(0→1)c(1-√(x/a)-√(y/b))^2×8abr^3sin^3θcos^3θdrdθ
V=∫(0→π/2)∫(0→1)c(1-r)^2×8abr^3sin^3θcos^3θdrdθ
=abc∫(0→π/2){sin(2θ)}^3dθ∫(0→1)(1-r)^2×(r^3)dr
と変数分離が出来て、各積分は容易に積分できて
=abc/90
と出てきますので やってみて下さい。

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Pを使ってc2の式や頂点を表すにはどうしたらいいのか教えてください。(高校生です)

Aベストアンサー

C1上の点(x,y)を点P(p,2p)を中心に点対称移動したC2上の点Q(X,Y)とすると

(x+X)/2=p
(y+Y)/2=2p

これから
x=2p-X, y=4p-Y

C1の式に代入して
4p-Y=(2p-X)^2-4(2p-X)-1

Yについて整理
Y=-X^2+4(p-1)X-4p^2+12p+1

一般の流通座標にX,Yを置き換えて
y=-x^2 +4(p-1)x-4p^2+12p+1
=-{x-2(p-1)}^2 +4p+5

これが求める軌跡の放物線の方程式です。
上に凸の対称軸 x=2(p-1)、頂点のy座標 4p+5 の放物線ですね。
グラフはご自分で描けるでしょうね。

Q数学 計算(x二乗+xy+y二乗)(x二乗−xy+y二乗)(x4乗−x二乗y二乗+y4乗)↑

数学 計算
(x二乗+xy+y二乗)(x二乗−xy+y二乗)
(x4乗−x二乗y二乗+y4乗)

↑見づらくてすみませんT_T
途中の計算式、説明含めて教えて下さい。
来週、期末テストで助けで下さい…

Aベストアンサー

(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)(x^2+y^2=A)
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参考までに。

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Aベストアンサー

このような問題は、数学の問題だから「きっと、必ず因数分解できるに違いない」と思ってアプローチできますが、現実の社会では「必ずしも因数分解できるとは限らない」と思わないといけません。

 ということで、行きあたりばったりにいろいろトライ・アンド・エラーしていても解けるとは限りませんので、ここはドンくさく、正攻法でやるしかありません。

 お示しのようなx, y の二次式は、一般的に
   (ax + by + c)(dx + ey + f)
と因数分解できます。a~f を整数に限らなければ、必ずこう書けます。
 あとは、a~f を整数になるかならないかで、整数で表わせなければ、「きれいに」因数分解できないということです。

 これを展開すると
  adx² + (ae + bd)xy + bey² + (af + cd)x + (bf + ce)y + cf
となるので、これと与えられた式を比べて、a~f を求める、という作業をするのが「正攻法」です。

 やってみましょう。(a, b, c)と(d, e, f) は対称形になるので、一方だけを示します。

(1)
ad = 2
ae + bd = -3
be = -2
af + cd = 5
bf + ce = 5
cf = -3
面倒ですが、これを解けば
 a=2, b=1, c=-1, d=1, e=-2, f=3
となります。
 つまり
2x² - 3xy - 2y² + 5x + 5y - 3
= ( 2x + y - 1)( x - 2y + 3)

(2)同様に
ad = 1
ae + bd = -1
be = -2
af + cd = 2
bf + ce = -7
cf = -3
これを解けば
 a=1, b=1, c=3, d=1, e=-2, f=-1
となります。
 つまり
x² - xy - 2y² + 2x - 7y - 3
= ( x + y + 3)( x - 2y - 1)

(3)さらに同様に
ad = 6
ae + bd = 5
be = -6
af + cd = 1
bf + ce = -5
cf = -1
これを解けば
 a=2, b=3, c=1, d=3, e=-2, f=-1
となります。
 つまり
6x² + 5xy - 6y² + x - 5y - 1
= ( 2x + 3y + 1)( 3x - 2y - 1)

このような問題は、数学の問題だから「きっと、必ず因数分解できるに違いない」と思ってアプローチできますが、現実の社会では「必ずしも因数分解できるとは限らない」と思わないといけません。

 ということで、行きあたりばったりにいろいろトライ・アンド・エラーしていても解けるとは限りませんので、ここはドンくさく、正攻法でやるしかありません。

 お示しのようなx, y の二次式は、一般的に
   (ax + by + c)(dx + ey + f)
と因数分解できます。a~f を整数に限らなければ、必ずこう書けます。
 あ...続きを読む

Qf(x,y)=√|xy|が原点で微分不可能と示す

お世話になります、以下の問題を解くにあたって極座標変換を使いたいのですが、その用法に自信がありません。

お手数をお掛けいたしますが、添削をお願いしたいのです。

>>f(x,y)の点(a,b)での全微分可能の定義

lim[(h,k)→0] {f(a+h,b+k)-f(a,b)-(Ah+Bk)}/√(h^2+k^2) =0より
f(x,y)=√|xy|が原点で微分不可能であることを示したいのです。


k=0の時、定義はlim[h→0] {f(a+h,b)-f(a,b)-Ah} / h =0
lim[h→0] {f(a+h,b)-f(a,b) } / h =Ah/h
左辺がx座標の偏微分係数になっているので、fx(a,b)=A
同様にh=0のとき、fy(a,b)=B

∴定義はlim[(h,k)→0] {f(a+h,b+k)-f(a,b)-( fx(a,b)h+ fy(a,b)k)}/√(h^2+k^2) =0

a=0,b=0として、

f(0,0)=0 , f(0+h,0+k)= √|hk|
f(x,y)=√|xy|の原点での偏部分係数は
fx(0,0)= lim[h→0] {f(0+h,0)-f(0,0)} / h = lim[h→0] 0/h =0
fy(0,0)= lim[k→0] {f(0,0+k)-f(0,0)} / k = lim[k→0] 0/k =0

これらを定義に代入して、
lim[(h,k)→0] √|hk|/√(h^2+k^2)…(※) が0に収束するかについて

点(0,0) と点(0+h,0+k)を結ぶ直線をrとして、点(0,0)と点(0+h,0)を結ぶ直線とrのなす角をθとする。

cosθ=h/rよりh=rcosθ , sinθ=k/rよりk=rsinθ
(ただし、r>0 ,0≦θ≦π/2 , (h,k)→0 ⇒ r→0)

(※)に代入して、lim[r→0] √|r^2cosθsinθ|/√{r^2(cos^2θ+sin^2θ)} , r>0より
lim[r→0] √(r^2| cosθsinθ|) / √r^2
= lim[r→0] (r√| cosθsinθ| )/ r
= lim[r→0] √| cosθsinθ|= √| cosθsinθ|

∴ 極限値はθに左右される。つまり全微分不可能である。

お世話になります、以下の問題を解くにあたって極座標変換を使いたいのですが、その用法に自信がありません。

お手数をお掛けいたしますが、添削をお願いしたいのです。

>>f(x,y)の点(a,b)での全微分可能の定義

lim[(h,k)→0] {f(a+h,b+k)-f(a,b)-(Ah+Bk)}/√(h^2+k^2) =0より
f(x,y)=√|xy|が原点で微分不可能であることを示したいのです。


k=0の時、定義はlim[h→0] {f(a+h,b)-f(a,b)-Ah} / h =0
lim[h→0] {f(a+h,b)-f(a,b) } / h =Ah/h
左辺がx座標の偏微分係数になっているので、fx(a,b)=A
同様にh=0のとき...続きを読む

Aベストアンサー

いいんじゃない?
語り口はモタついているけれど、
内容に間違いは見られない。
正解。


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