No.1ベストアンサー
- 回答日時:
この手の問題は場合分けがポイントです。
それからグラフを描いてみると良いですよ。f(x) = x^2+2mx+1
とします。(x^2はxの2乗の意味です。)
[1] f(x) (0≦x<≦2)の最小値はどこにあるかを考えます。これは2次式だから、最小値を取りうるのは両端点(x=0、x=2)か、放物線の頂点のどれかです。この3通りを分けて考える必要がある。ここが一番のポイント。
[2] x^2の項の係数は1で、これは正だから、(x,f(x))のグラフは下に凸の放物線です。従って、放物線の頂点が最小である可能性が除外できません。(上に凸なら頂点は最大値にしかなりえないんですがね。)
[3] 頂点の位置(xp,f(xp))を求める。一般にa x^2 + b x + cの頂点のx座標xpは2a xp+b=0を満たします。(微分法をご存じなら、これはf'(xp)=0という方程式を作ることに相当するのがお分かりになるはず。)
これでf(xp)≧0になるようなmの範囲が決まりますね。
あるいは[3']のように考えても良い。
[3']f(xp)≧0。つまり放物線の頂点がx軸に接するか、それより上になる。これは、方程式
x^2+2mx+1=0
が重解を持つか、解がない場合に相当します。ということは、判別式D≦0であるようなmの範囲を求めればよい。
[4] この頂点のx座標xpが指定されたxの範囲(0≦x≦2)に収まるならば、(xp,f(xp))が曲線の一番低い場所です。もしxpが範囲(0≦x≦2)からはみ出すならば、x=0かx=2が最小ということになる。(グラフを描いてみると良くわかります。)
[4-1]収まる場合:
(A) 0≦xp≦2 。が成り立つようなmの範囲を求めます。mがこの範囲にあるとき、曲線の内で一番低い場所は放物線の頂点である。そして
(B)[3]頂点がf(xp)≧0であるにはmはどういう範囲に入ればよいか。
この(A)と(B)が両方成り立つようなmの範囲を求めます。
[4-2] はみ出す場合(1) xp≦0の場合:xpは範囲(0≦x≦2)の外ですから、両端点だけ考えればよい。
(A) 放物線は下に凸ですから、xp≦0であれば、x=0のときよりx=2の時のほうがf(x)の値が大きい。(グラフを描いてみれば分かります。)だから
(B) f(0)≧0であるにはmが幾らであればよいか、という問題です。
この(A)と(B)が両方成り立つようなmの範囲を求めます。
[4-3] はみ出す場合(2) xp≧2の場合:これも両端点だけ考えればよい。[4-2]と同様です。
[5] 以上をまとめると
[4-1]、[4-2]、[4-3]のどれかが成り立つmであれば、(0≦x<≦2)である任意のxについてf(x)≧0になる。これが答ですね。
No.3
- 回答日時:
x^2 + 2mx + 1 ≧ 0 を x^2 + 1 ≧ -2m x と書きなおして、
直線 y = -2m x と放物線 y = x^2 + 1 との上下関係を調べます。
直線 y = -2m x が放物線 y = x^2 + 1 と接するためには
x^2 + 2m x + 1 = 0 の判別式Dが0、よって
m^2 - 1 = 0 ∴ m = ±1
このとき x^2 ±2 x + 1 = 0 ∴x = ±1
即ち、この直線と放物線が接するとするとそのxの値は±1です。
よって、0≦x≦2 で直線が放物線の下または接するための条件は
傾き -2m が直線と放物線が x = 1 で接する時の値 m = -1 以下であれば良い。
ゆえに求める条件は m ≧ -1
となります。
No.2
- 回答日時:
f(x)=x^2+2mx+1 とおくと
f(x)=(x+m)^2-m^2+1 となるので軸はx=-m ですね。
軸が指定された範囲に入っているかどうかで場合わけします。
各場合において0≦x≦2における最小値(これをminと書くことにします)
が0以上となるようなmの範囲を求めればよいのです。
(i) -m<0のとき (m>0のとき)
min=f(0)=1≧0 より m>0は適します。
(ii) 0≦-m≦2のとき (-2≦m≦0のとき)
min=f(-m)=-m^2+1≧0 より -1≦m≦1
よってこのときは -1≦m≦0 が適することになります。
(iii) -m>2 のとき (m<-2のとき)
min=f(2)=4m+5≧0 より m≧-5/4
よってこのときは適するmはありません。
以上(i),(ii),(iii)より答えはm≧-1となりますね。
高1の方でしょうか。私も高1のときこういう場合わけのある問題
なかなか分かんなかったです。勉強頑張ってください。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 全ての実数xについて、不等式x²+(k+2)x+(k+2)>0が成り立つような定数kの値の範囲を求め 5 2023/01/21 14:27
- 数学 基礎問題精講、演習問題47(2)(i)について (2)-8<x<-1の範囲で不等式x^2-ax-6a 3 2022/06/02 00:37
- 数学 【 数I 】 問題 aを定数とする。1≦x≦3において,xの 不等式ax+2a-1≦0・・・・・・① 2 2022/07/15 17:40
- 数学 難題集から 最大と最小 7 2023/02/22 19:36
- 数学 【 数I 連立不等式 】 問題 aを定数とし、連立不等式 x-6a≧-1・・・① { ∣x+a-1∣ 3 2022/07/11 18:27
- 大学受験 ある大学の数1,Aの過去問なのですが回答に解説がなく困っています。誰か解説をつけて欲しいです(><) 1 2022/11/05 12:57
- 数学 高一数学 二次関数画像あり 〔 チャート 94ページ 問題練習118番 〕 この問題の不等式はの答え 5 2023/08/19 15:59
- 数学 高校数学の問題について 2次方程式x²-2(m-2)x-m+14=0が、次のような異なる解をもつとき 7 2023/05/05 21:03
- 数学 高2 数2 3 2022/06/20 21:39
- 数学 【 数I 二次方程式の実数解 】 問題 ※写真の(2) 解答 いずれか一方のみが実数解を持つため に 1 2022/06/25 17:36
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
双曲線の概形の書き方
-
数学の変数にはなぜ「x」が使わ...
-
x軸と2点(α,0),(β,0)で交わ...
-
回転放物面 z=x^2+y^2 の面積...
-
二次関数の焦点の公式
-
tの値が変化するとき、放物線y=...
-
高校2次関数グラフ
-
n次関数
-
添付画像の放物線はどんな式で...
-
双曲線の焦点を求める時はなぜ√...
-
楕円の分割
-
勝手に与えられた楕円、双曲線...
-
高校数学の問題です。
-
mathematicaの軸の太さの変更に...
-
次の極方程式の表す曲線を直交...
-
多変数関数の問題。 (x. y.z )...
-
軌跡の「逆に」の必要性につい...
-
定規とコンパスで楕円を描く、...
-
二次関数の場合分けについて
-
二次不等式
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
【至急】困ってます! 【1】1、...
-
至急!y=2X^2を変形(平方完成)...
-
y=ax^2+bx+cのbは何を表してい...
-
tの値が変化するとき、放物線y=...
-
【 数I 2次関数 】 問題 放物線...
-
2:1正楕円とは何ですか?
-
楕円の焦点,中心を作図で求め...
-
双曲線の焦点を求める時はなぜ√...
-
噴水はなぜ放物線をえがくので...
-
この問題は「円の中心の軌跡を...
-
放物線y=2x² を平行移動した曲...
-
回転放物面 z=x^2+y^2 の面積...
-
楕円の書き方
-
放物線z= x^2 + y^2上の点(1,2,...
-
日常生活で放物線や双曲線の例...
-
軌跡の「逆に」の必要性につい...
-
円柱をある角度で切断時の楕円...
-
2次関数と似ているグラフについて
-
グラフの平行移動の問題で y=2x...
-
数学における「一般に」とは何...
おすすめ情報