「１＝０．９９９・・・」？

　塾講のバイトをしています。
数学で循環小数の分数化のところをやっていて思い出したのですが、
たとえば、１．１１１・・・という循環小数を分数にする際
X＝１．１１１・・・とし、１０X＝１１．１１１・・・としてから
１０X－X＝１０．０
　　　X＝１０/９
となり、これはこれでいいのですが、０．９９９・・・で同じことをすると
「１＝０．９９９・・・」となってしまいます。
これは僕がまだ高校生だったときに妹に質問されて気がついたのですが、
久しぶりに思い出しら、やっぱり気になって仕方ありません。
僕は文系なので高校程度の数学までしかわかりません。
よろしければ教えてください。

No.1 回答者： noname#136764 回答日時： 2001/11/13 22:52

1=0.9999・・・・（無限に続く）は、正しい等式だと思います。

同じ対象を、1と書くか、0.999・・・（無限に続く）と
書くか、表記の仕方が違うだけです。

たぶん（笑）。

No.2 回答者： Naodon1020 回答日時： 2001/11/13 23:03

>1=0.9999・・・・（無限に続く）は、正しい等式だと思います。

そのとおりです。
むすかしい分析・証明は過去の質問・回答にあるので省略しますが、
単純に言えば、
例えば、小数第5位でカットすると、
1＝0.99999…0.0001ですから、0.99999＋0.00001＝1です。
よって、1＝0.999999・・・です。

No.3 回答者： nozomi500 回答日時： 2001/11/14 00:04

この手の質問がいくつかありました。

ご参考に。

素人的には、

１÷３＝0.33333・・
両辺を３倍したら、1＝0.99999・・
（１÷３×３が１になるのはいいですね）

参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=32339

この回答へのお礼

参考URLを載せてくださってありがとうございました。
さっそく読みましたが、僕にはちょっと難しいかな・・・。
数字（数）ってムズカシイ。

お礼日時：2001/11/14 00:28

No.4 回答者： noname#5113 回答日時： 2001/11/14 00:22

ご質問の文面から、極限の意味を説明すればよいと思いました。

まず、
1-0.999…
= lim10^(-n) = 0を証明すればいいのですが、
n→∞

極限の一般論を言うと、
lim f(x) = 0
x→∞

とは、「xを大きくすることによって、f(x)をいくらでも小さくできる」
ということを表します。これを少しだけ専門的な言葉で言い換えると、
「どんな小さい ε > 0を選んでも x > δ ならば f(x) < ε となる δ が存在する」
となります。
どんなに小さい ε でも ε > 10＾(-n)
と表せるnは存在しますね。(nを整数に限っても)
故に、
lim10^(-n) = 0です。
x→∞

よって
1 = 0.999…です。

No.5 ベストアンサー 回答者： redbean 回答日時： 2001/11/14 00:42

「１＝０．９９９・・・」は正しい式です。

背理法によるアバウトな証明をしてみましょう。

もし、1≠0.999…だと仮定すると、
その差 1-0.999… = a
は正のゼロでない数である。

a を小数で表すと、0.000… と続きそうであるが、
ある桁でゼロでない数が表れるはずである。

さて、ここで循環しない小数を使い、
1-0.999…9 = b
を考える。
左辺の 9 の個数を好きに選べるとする。
b は 9 の個数に応じた 0.000…1 という形になる。

このとき 9 を充分な個数使えば、
a より小さくすることが可能である（a は小数点以下の
ある桁でゼロでなくなるのだから）。
すなわち、 a > b である。

しかし、
0.999…（循環する）> 0.999…9 （循環しない）
であるから、a < b となって矛盾が生じる。
この矛盾は 1≠0.999… の仮定が間違っているからである。
すなわち、1=0.999… は正しい。

あくまでアバウトですが。

No.6 回答者： math 回答日時： 2001/11/14 01:06

たくさんの人が回答しているのでちょっとだけ。

。。
実数には
「異なる2つの実数の間には必ず（ほんとは無限個）2数と異なる実数がある。」
という定理があります。
もし1と0.999…が違う数とすると、その間に異なる実数がないといけません。
あるでしょうか？(探してみて下さい。)
答えは「無い」です。
なんで1＝0.999…

No.7 回答者： stomachman 回答日時： 2001/11/14 02:27

質問検索に「0.999」と入力して検索してみると、過去の質問・回答がいっぱい出てきます。

最も精密な説明は下記URLではないかと、お勧めしちゃいます。

参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=32339

No.8 回答者： starflora 回答日時： 2001/11/14 04:31

　

　　No.7 の人の回答の参照ＵＲＬで、「超準解析」について出ていますので、わたしが何かいうことはないとも言えます。付け加えるとすると、1.000000……を１と定義し、0.999999……を１と定義しているのです。これは、解析学で、そのように定義しているということで、0.99999……と１のあいだには、数がないというのは、解析学の範囲での話です。数学の場合、「拡張」という操作があり、0.99999……と１のあいだに数があるとして、この数を、ｓ数とか定義すると、数の拡張が起こります。このような実数の解析学的定義を超えた拡張を、「超準解析」というのです。これは、non-standard analysis の訳で、「通常でない」という英語の言葉を、「超準」という難しい言葉に訳しているのです。
　
　　解析学の範囲では、0.99999……を１と定義しているというのが答えです。
　　（何故、こう定義するかというと、数の一対一対応で、こう定義しないと、おかしなことが生じるからです。デルタ・エプシロン論法での証明も、実は、数の一対一対応性を満たそうとすると、そういう証明になるのです。数の拡張という数学の手法から言うと、必ずしも、0.9999……＝１ではないということも言えるのです）。
　

No.9 回答者： stingray 回答日時： 2001/11/14 07:06

じゃ小学生でも分かる程度で。

（nozomi500さんの回答をさらに簡単に詳しく。）

１＝０．９９９…と仮定。

両辺を３で割ると，

１／３＝０．９９９…／３

簡単にすると，

１／３＝０．３３３…

両辺に３をかけると，

１×３／３＝０．３３３…×３

簡単にすると，

１＝０．９９９…

これでいいのかな？

No.10 回答者： nozomi500 回答日時： 2001/11/14 12:35

stingrayさん、「さらに簡単・・」になっているのかなあ。

「○○と仮定」なんて、小学生はやってないと思いますよ。
さいしょから、１÷３＝０．３３３・・・のほうが小学生っぽいんじゃないかなあ。

ところで、
＞僕は文系なので高校程度の数学までしかわかりません

すごいじゃないですか。いまや、文系の大学生は、小学生の算数もできないらしいですから、「高校程度」で二次関数でもできたらたいしたもんですよ。
（たぶん、回答者のみなさんは「高校程度」ならこのぐらいの説明で理解できるだろう、ということなのでしょうね。「背理法」なんか、私は好きですが。）

この回答へのお礼

　こんなに短時間で多くの返事がくるとは思っていなかったのでびっくりしています。過去の回答も含め、必死で読んでいます。
　皆さんにここでまとめてお礼をすることをお許しください。
　つまり、解析学の範囲では「１＝０．９９９・・・」は正しい等式であるということがちゃんと証明（定義）されているんですね。
　どうも素人目では０．９９９・・・というと１に限りなく近い実数（１より小さい）と思ってしまうんですが、難しいですね。
　では１に限りなく近い数とはどう表現されているのですか？またそれは実数なんでしょうか。おかしな質問だったらごめんなさい。
　僕自身も過去の回答なりを探してみますので良かったら参考になるURLを教えてください。
　

お礼日時：2001/11/14 15:27