極限の考え方について

　高校数学で、微積を習いました。微分、そして微分を行う際の考え方として極限値をとったと思いますが、その極限値を求める際の厳密な理論を教えて欲しいのです。高校のときは、サラッと流したというか、大学で詳しく習うとか言われて、詳しく教えてくれなかったと思うので。

　微分係数、導関数を求める際に、極限をとりましたが、その時、ｈ→０としたと思います。
　１　ｈを限りなく0に近づけるけれども、０ではない。（約分できる）
　２　０とみなされる（０とおける、０と考えられる）ので消去できる。
　ｈ→０にはこの二つの意味があったと思います。しかし、これって本で読みましたけど、なにかすっきりしませんよね。（矛盾してるというか・・・）
　例を出せば、ｙ＝ｘ＾２（xの2条）の導関数を導くとき極限をとると
　　　２xΔｈ+Δｈ＾２（デルタｈの2条）/Δｈ＝
　　　２ｘ+Δｈとなり
　　　２ｘとなりますが
　この時の考え方としてΔｈは０ではないから約分できて２ｘ+Δｈとなり、Δｈは０とみなし２ｘとなる。
だったと思います。しかしこの考え方だと都合の良い解釈だと思うんですよ。２ｘ+Δｈから２ｘになるのにΔｈを０と考えるんだったら、その前のΔｈで約分するのもおかしいし（約分出来ないのでは？）、逆に約分できる（０でないので）のであれば、２ｘ+ΔｈからΔｈをなくすのも？と思うんですよ。
　
　実際、書物を読むと、18世紀、ニュートンとかライプニッツが微分（極限のとり方）を発表した時、かなり批判があったと聞きます。おかしいと。そして、この極限の考え方が正しいと証明されるまで約100年要したとありました。
　その正しいと証明された考え方（理論）をどなたか教えてください。もしくはこのテキストをみれば解るという書物があればその書名も教えてください。
お願いします。
　

No.4 ベストアンサー 回答者： rinkun 回答日時： 2005/10/18 12:54

大学の数学(微積分学)では極限の取り扱いはε－δ論法で定式化します。

例えば
lim(h→0)f(h)＝y
を
任意の(小さな)ε>0を与えるごとに、あるδ>0があり、δ>|h-0|ならばε>|f(h)-y|
で定義します。
そして極限にかかわる証明などは全てこの定式化の上で行うわけです。
高校数学ではこのような回りくどい論理構成は省いているため、厳密に考えるとよく分からない部分が一杯でてきます。

No.5 回答者： springside 回答日時： 2005/10/18 14:00

まぁ、この辺の話は大学の数学の教科書でε-δ論法を勉強すればそれで終わりなのですが、挙げられている例については、以下のような考え方のはずです。

>>この時の考え方としてΔｈは０ではないから約分できて２ｘ+Δｈとなり、Δｈは０とみなし２ｘとなる。

これはそうではないです。Δhは最初から最後まで0ではなく、「2x+Δhは2xに近づく（2xになるのではない）」ということです。

言い方を変えると、h→0には、２つの意味はなく、
>>２　０とみなされる（０とおける、０と考えられる）ので消去できる。
ということはないです。

No.3 回答者： sire 回答日時： 2005/10/18 12:49

lim h→0 で「hが0になる」のではなくて「hが0に近づいていって0になる」というその"近づき方"をイメージされるといいのだと思います。

それでhが"すぐ"に0になると0/0や不定形になるように思えてもそうはならない(2h/hがその例)ということではないでしょうか。

(先ほど間違っていましたので訂正
lim h→0(2x・h + h^2)/h = 2x)

No.2 回答者： sire 回答日時： 2005/10/18 12:41

始めのΔｈを約分するときは極限をとってなくて、

約分をした後にΔｈの極限をとるということなのではないでしょうか。(これが勝手な解釈に思えるということなんでしょうが)

ある値が0に近づくといっても、
良い例が思いつかないのですが、いろいろな近づき方があります。

2h/hの場合、分母分子のhは同じｈですから0への近づき方は同じです。同じように0へ近づいていくのであれば、その比は同じ、つまり1になるわけで、
それで、
当たり前ですが
lim h→0 (2h/h) = lim h→0 (2) = 2 ですよね。
これが(2x^h + h^2)/hでも同じことではないでしょうか。

No.1 回答者： N64 回答日時： 2005/10/18 12:39

さらっと流したもので、あなたのように、能力のあるひとが、厳密に考えれば、疑問に思うのは当然です。

あなたのように、優秀な人は、もっと数学的にしっかりした本を読んで、厳密に理解すべきです。書店や図書館で、あなたにあった数学の本を探すことを、お勧めします。