X線透過後の強度変化

X線が物質を透過した後、反射させた後、屈折させた後の強度変化を知りたいのですが求め方の考え方を教えてください。（透過、屈折などそれぞれの割合も関係してくると思うのですが。）物質の吸収係数を用いた簡単な透過率の求め方は知っているのですが、これは厚さ一定のもので入射面積と透過面積を等しいと考えた場合で、例えば球面のものに入射した場合どのように考えればよいのでしょうか？やはり、屈折または反射、透過の3成分を考えて求めなくてはならないのでしょうか？この場合、屈折率が1以上の場合の波動光学（幾何学？）的な計算方法は適応できるのでしょうか？吸収係数と幾何学の両方を考慮しなくてはいけないのでしょうか？もしそうならばこれから波動光学の勉強をしなくてはなりませんが、認識不足で申し訳ないのですが、この式を使ってこの係数を使ってということが分かれば非常にありがたいです。算出方法が分かれば・・・。なにとぞよろしくお願いいたします。ちなみにX線は数10keVを想定しています。あと強度は透過後の単位面積あたりで考えています。集束する場合を想定していますので。

No.9 回答者： kuniuni 回答日時： 2001/12/13 12:37

参考ＵＲＬをも一つ

参考URL：http://www-cxro.lbl.gov/optical_constants/

No.8 回答者： kuniuni 回答日時： 2001/12/12 09:06

成分の話は、結局、すべての成分について足し合わせ、時間平均でもとるのだと思いますが。

。。また、偏光因子なるものが定義してあるので、教科書などで、参照してください。しかし、光源の話になると、お手上げです。（＾＾ゞ
また、反射率の式等の展開については、教科書の巻末などにリファレンスがあげてると思うので、そこまでまでもどり、それを参考すべきですね。仮定や定義の仕方が違っているケースもあるので。


参考ＵＲＬに代表的な raytrace の一つである　”Shadow”のアドレスを示します。とりあえず、これを参考にしてください。光学系を設計するときなどに利用してます。

少ない知識でお話したので、矛盾しているところもあったとは思いますが、とりあえずこれで許してください　m(_ _)m

参考URL：http://www.nanotech.wisc.edu/shadow/shadow.html

No.7 回答者： kuniuni 回答日時： 2001/12/06 10:50

訂正！

「強度(I)は結局、I = (εcE^2)/2となります。（ε：真空中の透磁率、ｃ：高速、Ｅ：電磁波の電場成分の振幅)」
の中のＥは、電場のＥです。も一つ式を引用する時、間違ってしまいました。すいません。

参考書については、読みやすい物では、菊田先生の「Ｘ線回折技術　上」東大出版会（←正しいか自信ありません。）があります。初版では、記述ミスがいくつかありましたので、気を付けて。式の導出が全部でてないので、それぞれには、またリファレンスが必要かもしれません。

この回答への補足

ご丁寧な回答ありがとうございました。少し勉強したのですが、臨界角は分かりましたが、反射率については、いまいち分かりません。教えていただいた公式も見ましたが、これは、単位がW/m2で、eVからW/m2の変換が分からなくて・・・。それで、振幅反射率からの式があったのですが、これは電気ベクトルに水平方向、垂直方向での反射率という形（フルネルの式）でのっていました。しかしこれを一つも反射率としたい場合は？なのです。補足していただけましたらよろしくお願いいたします。あとレイトレースも検索してみましたが、分かりませんでした。実は、プログラムにあまり詳しくないもので・・。言語はCならばなんとか・・という程度です。簡単なものがあれば、おしえていただきたいのですが、よろしくお願いいたします。

補足日時：2001/12/10 00:19

No.6 回答者： kuniuni 回答日時： 2001/12/05 12:46

休憩の合間に書いてたので、返事おくれました。

混乱されているようですが、ここで用いている、屈折、反射という言葉は、光学での使い方と同じです。物質に電磁波が入射されると、物質外に反射波と、物質内に屈折波が生じ、ある条件で反射波は全反射という現象を引きおこすというように読んでください。

Ｘ線というか電磁波の強度は、単位時間に単位面積を横切るエネルギー流れ（Poynting vector）として定義されています。実際のところ、振動周期が2π／ωが極短いのでPoynting vectorの虚数の入っている項はゼロになるので、強度(I)は結局、I = (εcE^2)/2となります。（ε：真空中の透磁率、ｃ：高速、Ｅ：電磁波の電場成分の振幅）ですから、境界条件さえわかれば計算できます。（波数ベクトルの連続性条件も、当然必要です。これは、光学のSnellの法則と同じになります。）境界条件は「境界面上で電場の境界面に平行な成分が等しい」ですから、結晶内の場の境界面に平行な成分（E, D）、結晶外の場の境界面に平行な成分(E’, D’)とすると、「E = E’, D = D’」なので、「E0+Em=E」です。この手のはなしは、Ｘ線回折学の関係の本の「動力学的回折理論の基本式」あたりに書いてあると思います書いてあるとおもいます。

全反射角の求め方は、Snellの法則に吸収がないとして計算してください。

プログラムについては、mon3さんがつかえる言語がわからないので、[
open source, ray trace ]などのキーワードで検索で調べてみてください。山ほどあると思います。しかし、この手の仕事は、光源のことも考えないといけないので、めちゃめちゃ大変です。ご自分の研究の本道でないなら、人の作ったプログラムで計算するのも、手です。

No.5 回答者： kuniuni 回答日時： 2001/12/03 17:03

Ｘ線の場合、屈折率は１よりわずかに小さいのでＸ線が物質表面に臨界角よりも小さな視斜角で入射すると全反射がおこります。

可視光の場合は、物質内で全反射されることを思うと、対照的な現象です。この場合のＸ線の強度はどう考え、どう計算するか基本的な話を紹介します。（一般、1個の原子による散乱を求めるには、原子散乱因子から求まります。）

物質表面の入射波に対し、鏡面反射波と屈折波が生じます。全反射条件下ではＸ線は、表面から内部にごくわずかしか入り込まない（普通は数nmくらい）のですが、確かにＸ線の物質内への進入は存在します。よって、物質の厚みというよりも、この進入深さでの吸収を考えなければなりません。入射波、反射波と屈折波の電場ベクトルをE0,Em,Eとすると、結晶内の場と外の場にたいする境界条件を用いると反射率（Em/E0）は、視斜角と臨界角で規格化した量の関数としてあらわされます。同様に屈折率(E/E0)も求めることができます。いずれの式にも、n（=1-δ+iβ）の項が含まれているので、もちろん吸収の考慮はされています。

数式をここで表記するのは難しいので割愛しますが、全反射を利用したミラーの反射率の計算などはみなこのような方法で計算しているはずです。球面であろうが、ウォルターミラーであろうが基本的な話は同じだと思います。近似や、対称性の利用ができたりするとはおもいますが。。。私自身は計算したことないので、省略。自分でプログラムを書くのであれば、公開しているレイ・トレースのプログラムのソースや、文献を参考にしたほうがよいでしょう。

わかり難い点がありましたら補足します。しかし、私自身は計算屋ではなく、人様のつくったプログラムを鵜呑みにして利用している一人なので、役にたたないかも
なお、ピントが外れてたアドバイスだったらお許しを。

この回答への補足

ピントはとても合ってます。大変役に立つ参考意見ありがとうございます。
電場ベクトルをE0,Em,Eとすると、結晶内の場と外の場にたいする境界条件を用いると反射率（Em/E0）は、視斜角と臨界角で規格化した量の関数としてあらわされます。ということですが、この数式をさがしているのですが、見当たりません。ご面倒でなければ、文献名か参考URLお教えいただけませんでしょうか？またプログラムのソースも参考にしたいので、公開されているプログラムのURLなどあれば教えてください。贅沢をいうようであれば臨界角の求め方も知りたいのですが、よろしくお願いいたします。ただ電場ベクトルをいう点が分かりにくいのですがこれは、入射するX線のエネルギー＝屈折方向成分＋反射方向成分＋（吸収成分）ということでよろしいでしょうか。ここで全反射での屈折ベクトル方向とは？反射と同じ方向では？ということが理解しにくいのですが？ご面倒ですがよろしくお願いいたします。

補足日時：2001/12/04 00:09

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2001/12/01 20:59

ブラッグ角反射は回折格子の分光効果と考えています。

既に申し上げたとおり、可視光の幾何光学で言う全反射やその臨界角は、この場合存在しないと考えて良いと思います。
波長が長く、結晶の個別の原子が見えない場合にだけ、結晶内部は「光速が遅くなる空間」とみなすことができます。幾何光学で言う全反射とは、その空間に入射した光が進行できなくなる限界角度ですね。数十keVのＸ線ではこの前提が崩れています。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2001/11/27 00:22

●間違っているかも知れません。

自信なしなら、回答しなければ良いと思うのですが、強いてのご要望のようなので…

> 屈折は、点状のＸ線源を使った位相差による干渉の場合にみられるということですが、この場合でも、屈折の効果より散乱の方が遙かに大きいのでしょうか？
●物の縁で生じる回折効果を屈折の代用と考えるという程度のことです。物の中を通ったＸ線の屈折は使えないと思いますよ。

> 散乱の求め方は、吸収係数と厚さを使ったものなのでよろしいでしょうか？これで厚みが異なる場合は細分化して箇所での透過率を積分することで算出できますでしょうか？
●それで良いと思います。

> 全反射が10keV程度までしか使えないのはどうしてなのでしょう？これは10ke V以上では全て透過してしまうということなのか？
●正面への全反射は、結晶の原子間距離が半波長程度でなくてはできません。さもないと透過あるいは吸収されてしまいます。それでも、鏡の内部にＸ線が侵入するために、電子による散乱は避けられず１００％の反射はありえないと思います。

それとも高エネルギーのX線の場合、鋭角過ぎていれることができないからなのでしょうか。
> しかし、キャピラリーなどでは30keVまで使用できるものもあるようですが・・・。
●共鳴空洞で30keVができる…正面反射だとすると、いや、技術の進歩は凄いですね。

> また全反射での臨界角を算出できますでしょうか？ある文献から屈折率δの関数として出されているのをみました。ご存知ではないでしょうか？また、この場合の全反射後の強度は、臨界角以下のものは100%反射と考えてよいのでしょうか？
●可視光の幾何光学における全反射ではなく、回折格子による反射と考えるのが妥当だと思います。結晶の原子の格子が回折格子として働く訳です。電子による散乱のため１００％反射はないと思います。

この回答へのお礼

無理を言いまして、すいませんでした。ご回答有難うございました。もう少し調べてみます。凹レンズを複数使ったＸ線の屈折レンズは文献にのっていました。実用化はされていませんが。それと100%の反射では無いということですが、反射によるエネルギー損失の導き方をもし知っておられたらでよいので教えてください。おっしゃる通り私がみました臨界角の算出方法は、吸収を無視した場合でした。ここで少し混乱しているのですが、回折格子だと分光されて単色光が反射されます。それと全反射では、ある臨界角以下では白色光が反射します。ということは、ある波長の単色光は、回折格子へのブラッグ反射での入射角とその物質の臨界角以下の2箇所で反射されるということですか？この臨界角の求め方も、もし知っておられたらでよいので教えてください。重ね重ねですいません。御礼になっておらずすいません。

お礼日時：2001/12/01 19:11

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2001/11/26 01:14

補足を拝見しました。

　そういうお話ですと、いや、もうボロが出てます。すいません。よくわかりません。
　Ｘ線結晶回折という現象があることからも分かるように原子が見えちゃう波長ですから、可視光の幾何光学で考えるような「のぺっと一様な光速の遅い空間」としての透明な物体というものは仮定できない。吸収ってのは、実際には電子との相互作用で散乱を繰り返してエネルギーを失って行く過程であり、ご質問のエネルギーでは光電効果とコンプトン散乱が主な要因です。
　屈折に関しては、屈折の効果より散乱の方が遙かに大きい。極めてコヒーレンスの良い点状のＸ線源を使った位相差による干渉以外には、実質的に生じないと思っています。
　一方、反射を使った集光は数keV～10keV位なら実用になっていますが、入射角はものすごく浅い。真正面にＸ線を反射できればＸ線レーザーが作れる訳ですが、これも２種類の原子を１層ずつ、何層も精密に積み重ねて作った鏡で辛うじて有効な反射が得られるので、扱えるエネルギーは十数keVが上限じゃないでしょうか。なお、シンクロトロンの非常に明るい放射光から特定の波長のＸ線を選び出すのにもブラッグ角反射が用いられています。いわゆる光の全反射とは違って、入射角方向から見たときの結晶の周期が波長と同等程度になって初めて回折格子として働き、反射が起こります。このとき散乱される成分が生じてしまう。曲面を持つ結晶ってのはちょっと考えにくいですけど、多数の結晶を少しづつ傾けて並べるとか、あるいは結晶をぐいと歪めるということでしょうか。

この回答への補足

ご回答誠に有難うございました。分かる範囲で結構ですので、ご意見ください。いただきました回答から、屈折は、点状のＸ線源を使った位相差による干渉の場合にみられるということですが、この場合でも、屈折の効果より散乱の方が遙かに大きいのでしょうか？散乱の求め方は、吸収係数と厚さを使ったものなのでよろしいでしょうか？これで厚みが異なる場合は細分化して箇所での透過率を積分することで算出できますでしょうか？全反射が10keV程度までしか使えないのはどうしてなのでしょう？これは10ke V以上では全て透過してしまうということなのか？それとも高エネルギーのX線の場合、鋭角過ぎていれることができないからなのでしょうか。しかし、キャピラリーなどでは30keVまで使用できるものもあるようですが・・・。また全反射での臨界角を算出できますでしょうか？ある文献から屈折率δの関数として出されているのをみました。ご存知ではないでしょうか？また、この場合の全反射後の強度は、臨界角以下のものは100%反射と考えてよいのでしょうか？なお、曲面というのは湾曲ミラーのことでウォルターミラーのようなもののつもりです。結晶をゆがませたものです。なにとぞ宜しくお願いいたします。

補足日時：2001/11/26 21:11

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2001/11/24 12:39

　ご質問のＸ線のエネルギーは、通常医療用に用いられているレベルであり、顕微鏡的なサイズの物を見るなどのごく特殊な応用を除くと、屈折・反射は無視できます。

特定のエネルギーの光子だけを、完璧に傷のない結晶の表面にごく浅い角度で入射させて全反射させること（ブラッグ角反射）は理論上可能ですが、そのような完璧な結晶を作る方が間に合いません。
　つまりレンズや反射鏡による集束は事実上無理です。集束させたければ、多方向からＸ線を照射するしかない。

　Ｘ線光子のエネルギーと、透過する物質を構成する原子の種類だけで「質量吸収係数」が決まり、これに物質の密度を掛け算すると「線吸収係数」μ(単位 (1/mm))が決まります。
　ですから、Ｘ線が単一のエネルギー、物質が単一の元素から成るのなら、透過したＸ線の強度I1は I1 = I0 exp[-μt] です。ここにI0は入射Ｘ線の強度、tは透過物の厚さ(mm)。
　Radoisotopeが出すガンマ線ならmonochromaticつまり単一のエネルギーの光子ばかりなのでこれでオッケーですけど、Ｘ線管で作ったＸ線は多様なエネルギーEの成分I(E)を含みます。ここでエネルギーEの光子の数をJ(E)とするとき、I(E)=EJ(E)です。
　これをＸ線の強度スペクトルと言います。エネルギーごとに線吸収係数μ(E)が異なりますから、
I0=∫I(E) exp[-μ(e)t] dE
I1=∫I(E) exp[-μ(e)t] dE　（いずれも積分は0～Ｘ線管の管電圧まで）
ということになる。また透過物が複数種類の元素から構成される場合には、次のように考えれば良い。すなわち
　元素iを比率P(i)で含む(i=1,2,...,N)というのなら、元素1だけで出来た薄い板、元素2だけで出来た薄い板、....を積み重ねたものをX線が透過すると思えば良いのです。それぞれの板ごとに上記の式で減弱を計算して掛け算していけばよい。

　参考書は、「放射線物理の基礎」（東海大学出版会）など、色々あります。

この回答への補足

ご丁寧な回答ありがとうございました。しかし、私の質問の意図としては、屈折、反射を想定しての理論的な算出のつもりでした。ご指摘のように分析装置、X線リソなどのようにX線を集束した場合の（特殊な場合）X線の強度も求めたいのです。よって屈折や反射を無視せず行いたいのです。ここでいう反射は全反射です。この際に球面、非球面の物質を用いた場合の屈折率または反射率に対する透過率がどうなるのかということです。吸収係数だけでは求められないような気がするのですが？集光するわけですから単位面積あたりの強度は増加するものと考えています。また平板ではなく球面の物質に対してX線で通常の光学幾何学が適用できるのか？等分かりません。焦点距離の算出は適応できると文献で見ましたが。（適用できるとしても今のところ理解できておりません。）またエネルギーについても白色光だと理解に非常に苦しむのでまずは数10keVの単色光で行うつもりです。あと１つ気になるのですが、全反射は理論的には臨界角以下の入射光は100%反射すると考えてよいのでしょうか？吸収されるもの透過されるものもあるのでしょうか？よろしくお願いいたします。

補足日時：2001/11/25 02:24