拡散係数を原子のジャンプと関連付ける酔歩の理論(Einsteinのブラウン運動)について教えていただきたいのですが、
D=Ffr2(二乗です)/6
f:拡散ジャンプ頻度
r:ジャンプ距離
F:相関係数、F<1
D:拡散係数
を導くにはどうしたらよいのでしょうか。いろいろと本で調べてみたのですが、どうしても見つかりません。
少しでも導くヒントをお願いします。

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A 回答 (1件)

blue_monkeyと言います。


すでに解決済みだと思いますが、アドバイスさせていただきます。参考にしていただければ幸いです。
【参考資料】
統計物理学 岩波講座
キーポイント確率・統計 岩波書店
「拡散方程式」、「酔歩」のキーワードで質問検索を行えば、参考になる回答がいくつかあります。
上記以外にも、統計力学、ブラウン運動、確率の参考書を探せば記述があると思います。

下記に蛇足の記述をさせていただきます。読み捨ててください。
【蛇足】
位置は
x=nx*a
y=ny*a
z=nz*a
時間は
t=N*τ
またτ毎にx,y,z方向に対して、独立に、確率0.5で、+a,-aだけ移動すると考えます。

1次元
(1)……<a*nx>=0
Δx=a*nx-<a*nx>
(2)……<Δx*Δx>=N*a^2
Nステップで位置nxにある確率をP(t,x)=P(τ*N,a*nx)とすると
(3)……P(τ*(N+1),a*nx)=P(τ*N,a*(nx+1))+P(τ*N,a*(nx-1))
を満たすことが確認でき、
右辺についてτについて1次まで、
左辺についてaについて2次まで
展開すると下記の拡散方程式が求まります。
(4)……(∂/∂t)P(t,x)=0.5*a^2/τ*(∂/∂x)(∂/∂x)P(t,x)
(4)式より拡散係数は
(5)……D=0.5*a^2/τ
(2)式の<Δx*Δx>=N*a^2=t/τ*a^2を(5)に代入すると
D=0.5*<Δx*Δx>/t
2次元の拡散方程式は、ステップNで、位置nx,nyにある確率P(τ*N,nx*a,ny*a)が
(6)……P(τ*(N+1),a*nx)
=P(τ*N,a*(nx+1),a*(ny-1))+P(τ*N,a*(nx-1),a*(ny+1))
+P(τ*N,a*(nx+1),a*(ny+1))+P(τ*N,a*(nx-1),a*(ny-1))
を満たすことが確認でき、1次元の時と同様に、τについて1次、aについて2次まで展開すると、(7)式の拡散方程式が得られます。
(7)……(∂/∂t)P(t,x)
=0.5*a^2/τ*[(∂/∂x)(∂/∂x)+(∂/∂y)(∂/∂y)]P(t,x)
拡散係数は1次元のときと同じD=0.5*a^2/τとなります。3次元についても同様な計算をおこない拡散方程式を導出すれば、拡散係数はD=0.5*a^2/τになることが予想されます(Blue_monkeyは1次元,2次元までしか導出の確認を行っていません)。

以上の拡散方程式から導出される拡散係数Dは
1次元,2次元,3次元でも全て同じく
D=0.5*a^2/τ
で記述されます。
1次元の場合の距離の分散は
(8)……<Δr*Δr>
=<Δx*Δx>
=N*a^2
=a^2*t/τ
2次元の場合の距離の分散は
(9)……<Δr*Δr>
=<Δx*Δx+Δy*Δy>
=2*N*a^2
=2*a^2*t/τ
3次元の場合の距離の分散は
(10)……<Δr*Δr>
=<Δx*Δx+Δy*Δy+Δz*Δz>
=3*N*a^2
=3*a^2*t/τ
(8),(9),(10)の結果を用いると、拡散係数Dは
1次元
(11)……D=(1/2)*<Δr*Δr>/t
2次元
(12)……D=(1/4)*<Δr*Δr>/t
3次元
(13)……D=(1/6)*<Δr*Δr>/t
質問中にあります拡散係数について考えますと
D=0.5*a^2/τ=(1/6)*(3*a^2/τ)
τ秒毎に±a移動するということから、1/τは、chibittzさんのf:拡散ジャンプ頻度に相当します。
aが移動するステップより、chibittzさんのr:ジャンプ距離に相当します。
残りのファクタ3がつじつま合わせ的にはchibittzさんのF:相関係数に対応することになりますが、1より大きいこと、また導出の上でも相関係数の意味を持たないように思われます。
chibittzさんの記載された関係式は、現在のところ、得られていません。

【その他】
2次元の酔歩問題で、
1)(r,φ)の極座標で考えたときの取り扱い。
2)1ステップで、x,y方向を独立にしているが、確率を0.25として、(0,a),(0-a),(a,0),(-a,0)としたときの取り扱い。
がどうなるのか、暇なときに考えようと思っています。


誤記、計算間違い、ウソがありましたらゴメンナサイ。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ご丁寧に教えていただき、ありがとうございます。
図書を探す際に「ブラウン運動」のほうで探していたためよい参考書に
めぐり合えませんでした。
そうですね、拡散や確率のほうから探せばよかったんですね。
どうもありがとうございました。

お礼日時:2002/01/14 18:12

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Q拡散係数の調べ方

ローダミンBの拡散係数の文献値を調べたいんですが、どのような調べ方をすればいいのですか?水の時と油の時の拡散係数を調べたい。

Aベストアンサー

文献値がありますかねぇ・・・
温度にも依存しますよね。
手元にないのでわからないのですが、クランクという人の書いた
本に、いろんなデータが出ていたような気がします。
1冊は「Mathematics in Diffusion」という本で、これは
解析の本。他に、データの出てる図書があったと思うのですが…。
もちろん、英語です。

Q空気の熱拡散係数

どうしてもわかりません。
羽毛服が暖かいのは羽毛の間に空気をたくさん含んで外気と身体の間に断熱層があるからといいます。
一方、温度の拡散する速度は、熱伝導方程式の係数、熱拡散係数が大きいほど、早いと理解しています。
しかし、物の本を見ると
密度比熱熱伝導率熱拡散率
Mg/m3J/g/KW/m/Km2/s*10-6
石英2.66 0.80 8.80 4.14
粘土鉱物2.65 0.90 2.92 1.22
有機物1.30 1.92 0.25 0.10
水1.00 4.18 0.57 0.14
空気0.00121.01 0.02520.63
氷0.921.88 2.181.26

でありましてなんと、空気の熱拡散係数は土や水よりも遙かに大きな値です。どうしてもわかりません。でも実際は空気があると温度は変わりにくいように思えますが・・・。
何か勘違いしているのでしょうか?教えてください。

Aベストアンサー

お返事がおそくなりましてすみません。
まず最初にお詫びと訂正です。熱伝導方程式の係数はgyanさんのご指摘のように熱拡散率のみで表現できます。大変失礼をいたしました。

一方で「熱流」の概念を抜きに熱伝導方程式を組み立てられない・解けない場合があることも事実です。温度の分布は同じであっても熱伝導率kが異なれば熱流の大きさが異なってくることに留意ください。従って境界条件の一部が熱流(もしくは熱源の発熱量)で与えられている場合は、熱伝導率の値が分からない限り温度分布を定めることはできません。

gyanさんは熱伝導問題について既に一定の知識をお持ちの方と拝察いたしました。以下は既にご存じの内容と重なる部分もあるかと思いますが、その場合はご容赦頂ければと思います。

「羽毛ジャケットを着ると暖かい」がどういうことか順に考えてみます。この場合 過渡応答を考えることもできますが、定常状態で考えれば十分でしょう。
一般に温度場T(x, y, z)が定常状態であり、かつ「全空間で温度一様」というつまらない解でないとすれば、その系には熱源と熱の捨て場(熱浴)が必ず存在します。
簡単のために1次元の定常の熱伝導で考えることにします(下図)。物質Aの熱伝導率kは温度によらない定数とし、熱浴の熱容量は当然ながら無限大とします。また熱浴の温度をT0、熱源の発熱量をP[W]とします。このとき熱源の温度T1は何℃まで上がるか考えてみます。

     物質A(厚さd)  外部熱浴(温度はT0で一定)
    →| → → |
    →| → → |
P[W] →| → → |
    →| → → |
    →| → → |
  断面積 S
    x=0    x=d  ---→x

(フォントによってはずれて見にくいかも知れません、すみません)
温度分布を与える関数をT(x)とします。今は定常解を考えますから、(∂T/∂t)=0です。よって熱伝導方程式は
α(d^2T/(dx)^2)=0
となります(Tの時間変化は考えず、変数はxだけですので常微分に直してあります)。αは熱拡散率です。
これは容易に解かれてdT/dx=定数、を得ます。
この定数は熱流を考えて初めて決定されます。単位面積を通過する熱流J[W/m^2]は温度勾配と
J=k(dT/dx)
の関係で結び付けられます。kを導入しないと熱流束J(と温度の勾配)の換算ができず、温度分布は定まりません。
一方発熱量がPでそれが断面積Sを通過するのですから、J=P/Sです。
よって
P/S=k(dT/dx)
の関係があり、この両辺を物質Aの厚み分(0~d)まで積分すると熱源(熱源とAとの境界)の温度T1が求まります。d=0の場合にT1=T0になるという境界条件を使うと
T1=Pd/(Sk)+T0
P/S, dが一定だとすると、温度上昇分(T1-T0)は熱伝導率kに反比例します。「保温効果」は熱伝導率kの高い低いで決まり、熱拡散率αには直接関係しないことがお分かりいただけると思います。

さて人間の場合はちょっと複雑です。人間は「体表面からの熱の逃げ具合によって、発熱量を変化させ温度を一定に保っている」特殊な熱源です。注意いただきたいのは人間は全身至るところで36℃なのではなく、体表面の温度はそれより低い点です。(そのために体温は腋や舌下で測るのはご存じのとおりです)

     皮膚層 ジャケット  外気(温度はT0で一定)
    →| → | → → |
    →| → | → → |
体内  →| → | → → |
    →| → | → → |
    →| → | → → |
     k1, d1  k2, d2
  断面積S

最初の例と同様に熱伝導方程式を解いてみます。体内の温度をT1(一定)、皮膚層とジャケットの熱伝導率をそれぞれk1、k2とします。厚みもd1、d2とします。また皮膚表面(皮膚層とジャケットの間)の温度をT2とします。皮膚とジャケットの間には空気層がありますがとりあえず無視します(空気層の影響はジャケットに織り込み済み、と考えてください)。
定常状態ですから同様にdT/dx=定数 という解を得ます。発熱量は不明ですのでとりあえずPとすると
P/S=k1(dT/dx)  ・・・皮膚層内
P/S=k2(dT/dx)  ・・・ジャケット内
であり、それぞれ積分して
T1-T2=P d1/(k1 S)
T2-T0=P d2/(k2 S)
を得ます。辺々足すと
T1-T0=(P/S)×(d1/k1+d2/k2)
となり、T2-T0=P d2/(k2 S)を辺々割って整理すると
(T2-T0)/(T1-T0)=1/{1+(k2 d1/(k1 d2)}
を得ます。T1とT0が一定の値であっても、k2が小さくd2が大きいほど体表面の温度T2が高くなる(T1に近くなる)ことが分かります。ゆえに羽毛ジャケットを着ると暖かいのです。この場合でも同様に体表面の温度を決めているのは熱伝導率k2(と厚さd2)であり、熱拡散率は直接に含まれないことに留意ください。

「数式では確かにそうなのだが、どうも感覚的に納得できない」ということであれば、さらに以下をお読みください。

「小さい熱伝導率のため熱は伝わりにくいのですが、空気のもつ体積熱容量が他の物質に比べてもっと小さい、つまり、その場で貯熱しうる熱が少ないので、温度は早く伝わると言うことと思えるのです。」というgyanさんの理解はまったくその通りです。
一方で、「熱」は伝わりますが厳密に言えば「温度」は直接には伝わらないという点を再確認ください。熱が伝わった結果として初めて温度が上がる(下がる)ことは申し上げるまでもなくご存じだと思います。

┠───────┨
┃       ┃
┗━━━━┓┏━┛
      △
      △
   ┃       ┃
   ┠───────┨
   ┗━━━━━━━┛

さて今図のように、上下に二つの水槽を用意し上の水槽の底に孔をあけて下の水槽に水を落とします。上下の水槽の大きさは同じだとします。
(1)水槽は小さいが、孔も小さい
(2)水槽は大きいが、孔も大きい
という二つのケースを考えます。水槽の底面積と孔面積の比は同じとします。最初の水位も同じだとすると、下の水槽の水位の時間変化も(1)(2)で全く同じです。
水位-温度
水流-熱流
容積-熱容量(体積比熱)
と置き換えれば、熱伝導の問題と同じであることがお分かりいただけると思います。
(1)が「熱伝導率も比熱も小さい」、(2)が「熱伝導率・比熱とも大きい」に相当します。熱拡散率は熱伝導率と(体積)比熱の比ですから、その比が一定であるなら「温度の伝わり易さ」(正確な物理用語でないですが)は同じということになります。
なお「底面は大きく、孔は小さい」水槽が、熱拡散率が低い場合に相当することは申し上げるまでもありません。

さて、今度は上の水槽に一定の割合で水を注ぐとします。この場合は(1)(2)で上側の水槽の水位変化に違いが現れます。(1)は水位が急上昇するのに対し、(2)はそれほどは上がりません。熱の問題に翻訳すれば、外部から熱を供給したときに「(1)はすぐに温度が上がり、(2)はあまり温度が上がらない」ということになります。
つまり、外部から熱が加えられない場合は熱拡散率(=底面積と孔面積の比)だけで水位の変化は決まりますが、外部から熱が加えられる場合は、加えられる熱量(上側水槽に注がれる水)と孔の大きさ(熱伝導率)の関係によって温度分布が異なってくることになります。あるいは、上側水槽の水位が一定になるように注ぐ水量を調節するならば、(1)の方が水量は少なくて済む、とも言えます。
もうお気づきかと思いますが、空気は(1)の「水槽も孔も小さい」に相当するわけです。ですから温度(水位)はすぐに変化しますが、外部から無理やり熱流(水流)を放り込もうとしてもなかなか伝わらないわけです。あるいは逆に外気が熱を奪おうとしても、出口が小さいために熱はゆっくりしか奪えない、ということになります。
熱流の大小によって皮膚表面の温度が変わってくることは上で述べた通りです。

*ジャケットを全く着ない場合には体表面の温度=外気温になるのでは? という指摘もあるかと思いますが、これはそうはなりません。図では外気を、全体が温度一定の熱浴のように描きましたが、実際には皮膚近傍の空気層(境界層)の中に温度勾配が生じます。ジャケットを着た場合にはその温度差が小さいので上記では無視して計算しています。

お返事がおそくなりましてすみません。
まず最初にお詫びと訂正です。熱伝導方程式の係数はgyanさんのご指摘のように熱拡散率のみで表現できます。大変失礼をいたしました。

一方で「熱流」の概念を抜きに熱伝導方程式を組み立てられない・解けない場合があることも事実です。温度の分布は同じであっても熱伝導率kが異なれば熱流の大きさが異なってくることに留意ください。従って境界条件の一部が熱流(もしくは熱源の発熱量)で与えられている場合は、熱伝導率の値が分からない限り温度分布を定めることはでき...続きを読む

Q粒子束と拡散係数、バブルの成長の関係について

粒子束の単位は[個/m^2s]で、単位時間当たり単位面積を通過してくる粒子の個数というようにイメージできます。一方、拡散方程式の拡散係数の単位は[m^2/s]=[m][m/s]=長さx速度 or =面積/時間となっており、具体的なイメージがつかめません。

ある物体の表面積が単位時間当たりどれだけ増えるかというように考えればいいのでしょうか。溶質(あるいは空孔)の流入によるバブルの成長モデルでしばしば、拡散係数Dと溶質濃度Cの積、DCというのを見かけます。単位は[m^2/s][1/m^3]=[1/ms]ですが、物理的には何を表しているのでしょうか。単位時間当たり、単位体積あたりに溶質がQだけ流れ込んだときにバブルの体積が増え、結果バブルの表面積がどれだけ増えるかということをあらわしているのでしょうか。

Aベストアンサー

私の理解に基づく説明ですので、あなたにとって分かりやすいかどうか分かりませんが、とりあえず書いてみます。
私は、拡散係数単体で見た場合の物理的意味を考えることはありません。
私の理解は、フラックス(流束)と拡散方程式の係数だと考えています。
フラックスΓは-D∂C/∂xと書きます。
Cは濃度(密度nでも同じ)でディメンジョンはm^-3です。
したがって、∂C/∂xのディメンジョンはm^-4となります。
これに拡散係数のディメンジョンm^2/sを掛け合わせると、m^-2/sとなり、フラックスのディメンジョンとなります。
また、単純な拡散方程式はdC/dt=-D∂2C/∂x2です。
∂2C/∂x2のディメンジョンはm^-5ですから、拡散係数のディメンジョンを掛けると、m^-3/sとなり、左辺のディメンジョンと一致します。
私はこういった具合に理解していますが、実際はもう少しDの意味があるようです。
私は詳しくありませんが、グリーン関数等を使って拡散方程式を解くと、L=√(Dτ)などとなるようにおぼろげに記憶しています。
ここで、Lは特性拡散長、τは特性拡散時間で、初期値の1/e(自信がありませんが)だか何かになるまでの時間が特性時間です。
私が答えられるのはこれくらいのようです。

後半のバブルの成長モデルについては詳しくないのであまり答えられませんが、DCというのは、元になっている支配方程式を解くと得られるのではないかと推測します。
というわけで少し支配方程式を考えてみることにしましょう。
濃度Cで時間dtに対して球状の気泡の半径がdrだけ増えるとすると、おそらく、
C 4πr^2 dr = D(∂C/∂r)×4πr^2 dt
と書けるのではないかと思います。
成長速度をR=dr/dtとおくと、
C R = D(∂C/∂r)
となり、
R=D(1/C)(∂C/∂r)
となります。
これを解くと、
R dr = D (1/C) dC
から、
R r = D ln(C)
となります(常数項は省きました)。
ここで、ln(C)をC=1の周りで展開すると(Cはある濃度C0でノーマライズしているとすれば多分これで良い)、
ln(C)~C
より、
R r ~ D C
よって成長速度 R ~ D C / r
といった感じでしょうか。
Cはノーマライズしているとしたので無次元ですので、D C/rのディメンジョンはm/sとなります。
質問では単にDCとなっていましたが、半径が大きくなるほど一定の流束だと直感的に成長速度(というか膨張速度)が遅くなっていくはずなので少し変かなと感じたのが方程式を組んでみた理由です。
もっとも気泡の専門家ではないのであまり自信は無いです。

私の理解に基づく説明ですので、あなたにとって分かりやすいかどうか分かりませんが、とりあえず書いてみます。
私は、拡散係数単体で見た場合の物理的意味を考えることはありません。
私の理解は、フラックス(流束)と拡散方程式の係数だと考えています。
フラックスΓは-D∂C/∂xと書きます。
Cは濃度(密度nでも同じ)でディメンジョンはm^-3です。
したがって、∂C/∂xのディメンジョンはm^-4となります。
これに拡散係数のディメンジョンm^2/sを掛け合わせると、m^-2/sとなり、フラックスのディメンジョンとな...続きを読む

Q複素フーリエ級数展開を導くときの係数CnとC-nについて

複素フーリエ級数展開を導くときの係数CnとC-nについて
http://okawa-denshi.jp/techdoc/2-2-4Spectrum.htm
のページで言うと式2-2-10のところからわかりません。

係数は1つのCnでかけた方が美しいので最終的な形を見越してまとめていくので
しょうが・・・

Cnのほうはan-jbnでC-nはan+jbnですが、C-nを別の文字Knとして
Cn=1/2(an-jbn)で、Kn=1/2(an+jbn)
これをどうやったらjの前の符号だけをマイナスに変えられるのでしょうか?・・・(1)


また、式2-2-11でeの指数の符号-jnωtの符号をプラスにする際にシグマの範囲が
変わる理屈ご存知でしたらご教示頂きたく思います。・・・(2)

シグマは総和をあらわす記号ですが、範囲のはじめと終わりは順序数(自然数)という
決まりがあるのでしょうか?n=○という形で記載があればnだから自然数かなとは
思いますが・・・今回は範囲がn=-∞になっているので整数の範囲に勝手に拡張されてます。

そこらへんもあわせてご教示いただけるとうれしいです。よろしくお願いします。

複素フーリエ級数展開を導くときの係数CnとC-nについて
http://okawa-denshi.jp/techdoc/2-2-4Spectrum.htm
のページで言うと式2-2-10のところからわかりません。

係数は1つのCnでかけた方が美しいので最終的な形を見越してまとめていくので
しょうが・・・

Cnのほうはan-jbnでC-nはan+jbnですが、C-nを別の文字Knとして
Cn=1/2(an-jbn)で、Kn=1/2(an+jbn)
これをどうやったらjの前の符号だけをマイナスに変えられるのでしょうか?・・・(1)


また、式2-2-11でeの指数の符号-jnωtの符号をプラスに...続きを読む

Aベストアンサー

質問者さんがどの辺りで躓いているのかよく分からないので、
いくつか書いていきます。

まず天下り的に知識から

フーリエ級数展開は実数の関数を表せ、
複素フーリエ級数展開は複素数の関数を表せます。
つまり複素フーリエ関数はフーリエ級数展開の上位バージョンです。
ですから、参照HPは複素フーリエ級数展開を導いているというよりは、
(実数)フーリエ級数展開との対応をとっている、といった方がベターです。
具体的に言うと、複素フーリエ変換にCn=an-jbnでC-n=an+jbn、
つまりCnとC-nが複素共役である、という条件が加わると
複素フーリエ展開で表される関数は実数関数に制限されます。


参考HPの流れをざっくりと、

フーリエ級数展開はsin,cosで表される。
これをオイラーの公式でe^(jnwt)の形に分解すれば複素フーリエ展開になりそうだ。
分解してみると
e^(jwt), e^(2jwt), e^(3jwt), e^(4jwt)・・・e^(jnwt)・・・・
e^(-jwt), e^(-2jwt), e^(-3jwt), e^(-4jwt)・・・e^(-jnwt)・・・・
等の項が出てきたがそれぞれの係数をどう置こう?正方向に無限個、負方向に無限個・・・
sin,cosの時は正方向に無限個だけだったのに項の数が倍になってしまった。
よし、自然数を使ってそれぞれの項にかかる係数は、次のように置くことにしよう。
C1, C2, C3, C4・・・Cn・・・
C-1,C-2,C-3,C-4・・・C-n・・・
負の方向の項には自然数nにマイナスをつけてカバー。
シグマで足し合わせるときには第1項から第∞個まで足し合わせればOKだな。
実際に計算してみると、フーリエ級数展開の整数を用いて
Cn =an-jbn  
C-n=an+jbn
という対応が取れるみたいだ。
・・・・・4,3,2,1,0,-1,-2,-3,-4・・・・・番目の項がそれぞれあるわけだから
自然数nよりも整数mで表現したほうが綺麗だ。
正の項の場合は、Cne^(jnwt)はそのままCme^(jmwt)で置き換えてよさそうだ
負の項の場合は、例えばC-2e^(-j2wt)はCme^(jmwt) [m=-2]だから
マイナスをjの前につけずに常にCme^(jmwt)で表してしまってよさそうだ。
つまり
Σ(n=1→∞)C-ne^(-jnwt)
にm=-nを代入してやれば
Σ(n=1→∞)C-ne^(-jnwt)=Σ(m=-1→-∞)Cme^(jmwt)か
m=0の時は、項がe^(j0wt)=1だから、定数a0/2を係数C0に還元してやることにしよう。
mがマイナスの項もあるからシグマで足し合わせるときは第-∞項から第∞項まで
足し合わせないといけないな。
結局全部まとめるとΣ(m=-∞→∞)Cme^(jmwt)
記号は何でもいいからmじゃなくてnを使っておくか、
Σ(n=-∞→∞)Cne^(jnwt)



質問に答えられて無いかも知れないですけど。
参考程度に。

質問者さんがどの辺りで躓いているのかよく分からないので、
いくつか書いていきます。

まず天下り的に知識から

フーリエ級数展開は実数の関数を表せ、
複素フーリエ級数展開は複素数の関数を表せます。
つまり複素フーリエ関数はフーリエ級数展開の上位バージョンです。
ですから、参照HPは複素フーリエ級数展開を導いているというよりは、
(実数)フーリエ級数展開との対応をとっている、といった方がベターです。
具体的に言うと、複素フーリエ変換にCn=an-jbnでC-n=an+jbn、
つまりCnとC-nが複素共役であ...続きを読む

Q拡散係数テンソルって何っすか?

 現在流体力学の勉強の復習をしています。拡散係数テンソルというものが理解できなくて困っています。たいていの流体力学の本ではフラックスはフィックの法則でおなじみの
F= -D(∂C/∂x -∂C/∂y -∂C/∂z)
という表現で拡散係数Dはテンソル量であるとの表記はないのに、日野幹夫著 流体力学(朝倉書店)ではDがテンソル量であると言っておきながらその解説がないのです。もちろん他書でも調べましたが載ってませんでした。
 なぜテンソル量なのか? どういう場合にDをテンソル量として扱うのか?など知っている方教えてください。またそういうことが書いてある本などありましたら紹介してください。

 ちなみに私、大卒です。学部の流体力学もろくに知らずに卒業できてしまった自分が恥ずかしいです。

Aベストアンサー

確かに,大抵の流体力学のテキストでは D は単なるスカラーとして
扱われているようです.
流体は専門じゃないので,あまり高度なテキストは見ていませんが...

でも,ちょっと考えてみれば,ベクトル量のフラックスとベクトル量の濃度勾配とが
線型で結ばれているのですから,
比例係数に相当する D は一般には2階のテンソル
(今は,3行3列の行列で表現できる)ですね.
応力テンソルなどの話を思い出して下さい.

あとは,対象とする系の性質の仮定によってテンソルの形が制限されることになります.
普通の意味の等方的な流体では D テンソルの対角成分のみ非零で,
しかも値は皆等しく,単なるスカラーと考えられます.
行列で表すなら,単位3行3列の単位行列の D 倍.
非等方性流体や粘弾性流体ですと,単なるスカラーでは済まないことになります.

負号を2度書いちゃったミスタイプと思いますが
F = - D ∇C
 = - D(∂C/∂x,∂C/∂y,∂C/∂z)
ですよね.


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