No.3ベストアンサー
- 回答日時:
a_1:={5,*,5,=,√,√}
a_{n+1}:={a_n,*,5,=,√,√} for n≧1
とします。a_n→5^{1/3}を証明したいわけです。
b_n:=log_5 a_n
とおいてやりましょう。そうすると簡単な考察から、
b_1=1/2
b_{n+1}=(b_n+1)/4
となることがわかります。
あとはこの漸化式を解けばいいです。
極限の存在を仮定すれば、b_n,b_{n+1}→βとして、
β=(β+1)/4⇔β=1/3
だから、結局、b_n→1/3です。
まじめにやりたい場合は、きちんと漸化式を解いてください。
いずれにせよ、a_n→5^{1/3}が示されたことになります。
だいたい二回ぐらいこの操作をするたびに、一桁ぐらい
精度が上がっていくようです。
指数型の漸化式はlogを取ると、高校生で習う線形漸化式に
帰着されることが多いですので、
このような方法を知っていると割りに楽に計算ができます。
なお、b_nの収束だけを示すのであれば、一般項を求めずとも、漸化式を、
b_{n+1}-1/3=1/4(b_n-1/3)
と変形できますので、
|b_n-1/3|≦(1/4)^{n-1}|b_1-1/3|
が得られますから、
b_nは初期値によらずに1/3に収束することがわかります。
No.2
- 回答日時:
A1 = √(√5) ,
An+1 = √(√(5*An)) n = 1,2,3,・・・
とすると,
A1 = √(√5)
A2 = √(√(5*A1))
A3 = √(√(5*A2))
・
・
・
An = √(√(5*(An-1)))
となるが,ここで
(A2)^4 = 5*(A1)
(A3)^4 = 5*(A2)
(A4)^4 = 5*(A3)
・
・
・
(An)^4 = 5*(An-1) (1)
となっている.
そこで,もしこの数列の極限値 lim(n→∽)An が存在するとして,
それをA とおいて,(1)の両辺の極限値を考えると,
A^4 = 5*A
よって,
A^3 = 5
つまり,この数列(操作)の極限値A は,5の3乗根となっている!
・・・もしもこの数列が収束するとしたらですが・・・
No.1
- 回答日時:
ホントですか?
5×5=√√
この時点で求まるのは、5の平方根ですね。
×5=
ここで、5*√5、つまり、5の(3/2)乗
√
で、5の(3/4)乗
さらに√で、
5の(3/8)乗
以下、どんどん(1/2)乗を求めることになりそうです。
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