条件φ(n)=1/3nを満たす自然数を求めよ.
ヒント?:オイラーの公式

A 回答 (3件)

φ(n)=n/3ではないでしょうか?


(φ(n)=(1/3)nということですか?)
この場合、n=6になると思いますが..
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定理を使います



 定理 n=p^a*q^b*r^c...*w^xに素因数分解されるとき
  φ(n)=n(1-1/p)(1-1/q)(1-1/r)...(1-1/w)となる

 φ(n)=n/3よりnは3を素因数にもちます
 よって n=3^a*q^b*r^c...*w^x とします
 φ(n)=n(1-1/3)(1-1/q)(1-1/r)...(1-1/w)=n/3
2/3(1-1/q)(1-1/r)...(1-1/w)=1/3
q*r*...w=2*(q-1)(r-1)...(w-1)
ここで右辺は2の素因数をもつので
 q=2 を代入し
 r*...w=(r-1)...(w-1) これは成立せず
 n=3^a*2^b となる

  n=3^a*2^b が答えだと思います

たとえば
 φ(6)=2 1,5
φ(12)=4 1,5,7,11
φ(18)=6 1,5,7,11,13,17 
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φ(n)=(1/3)



φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)....(1-1/pk)です。

(1-1/p1)(1-1/p2)....(1-1/pk)=1/3

左辺を通分して((p1-1)/p1)((p2-1)/p2)

((2-1)/2)((3-1)/3)=1/3

よって、n=6

これ以外に無いことは証明が面倒なので
これくらいで勘弁して下さい。

あしからず。
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>これは順序が逆です。
>
>φ(n)=n(1-1/p)(1-1/q)(1-1/r)・・・を証明するために
>φ(ab)=φ(a)φ(b)が出て来て、φ(ab)=φ(a)φ(b)の証明が
>わからないのです。

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