y=2sinx+cosxの最大値を求めよ。

全然分かりません。
解説お願いします。

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A 回答 (4件)

y=2sinx+cosx


=√3 (2/√3 sinx + 1/√3 cosx)
=√3 (sinαsinx +cosαcosx)

と変形できます。あとはご自分で考えましょう。(答えが出てるけど)
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>No.1


>√3→√5では
>私も時々こういうミスやるんですよ

わぉ。おおぼけでした。√3ってあんまり出てこないのに珍しいな,とは思ってたのですが...
大学受験から15年近く経ってるのですっかり算数力を失ってしまってます。(涙)
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こういう問題の場合、三角関数の合成(加法定理)を使います。



(1)sinとcosの係数に注目し、それぞれの係数を2乗したものを足してその平方根を取ります。
→ ((2の2乗)+(1の2乗))の 平方根→√(2^2+1^2)→√5

(2)次に(1)で出た答えを前に出します。(つじつま合わせのためsinとcosはその数で割っておきます。(前に出した分をわってあげれば式自体の値は変わりませんので)
→ 2sinx+cosx
=√5{(2/√5)sinx+(1/√5)cosx}

(3)(2)で得られた{ }の中に注目します。( )の中の数字は必ず-1以上1以下の数字となっています。さらに( )の中の数字を2乗して足すと必ず1となります。(そうなるように(1)の計算をしている)。(2/√5)^2+(1/√5)^2=1。これってsinx^2+cosx^2=1ってことです。つまり( )の部分はsinあるいはcosで置き換えることができます。

(4)加法定理と比較しています。
sin(x+y)=sinx・cosy+siny・cosxと比較してみると、(2/√5)の部分がcosy、(1/√5)の部分がsinyに相当していますよね?このことからyの値が求まります。(綺麗な数字にはなりませんが)

このことから
2sinx+cosx
=√5sin(x+y)という形に変形できます。ただしyはcosy=(2/√5)、siny=(1/√5)です。
sinの関数は-1以上1以下ですから最大値(あるいは最小値)がわかりますよね?
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No.1


√3→√5では
私も時々こういうミスやるんですよ
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Qy=sinx+cosxの最大値と最小値を求める方法を教えてください

合成して、y=√2*sin(x+π/4)にするところまでは、いけました。

回答おまちしております。

Aベストアンサー

sin(x+π/4)の最大値は1最小値は-1です。
よって、、、

Qy=(cosx+2sinx+1)/(cosx-3sinx+5)

y=(cosx+2sinx+1)/(cosx-3sinx+5) xは実数全体
yの取り得る範囲を求めよ。

次のような考え方をしましたが、別解を教えてください。
右辺=kとおいて、整理すると、
sin(x+a)=-(5k-1)/√(10x^2+10k+5)
ここで左辺が-1から1までの値をとるから
右辺も-1から1までの値をとるkの範囲を求めると
(10-2√10)/15から(10+2√10)/15
となりました。

Aベストアンサー

途中計算でどこかで間違っているようです。
>(10-2√10)/15から(10+2√10)/15
これは間違い。たとえばx=-π/2でy<0、x=π/2でy>1.4になり最小値、最大値は質問者さんの求めた範囲から飛び出しています。

yは周期2πの周期関数なのでyの範囲は1周期、たとえば-π<x≦πでyの取りうる範囲を調べれば十分です。
1周期の範囲に渡って増減表を作れば最小値、最大値が求まります。

-π<x≦πで考えると極小値(最小値となる)と極大値(最大値となる)が各1つずつ存在することが増減表から(グラフから)分かり、
x=-π+arcsin{(-20+52√10)/185}の時
y(min)={5√(416√10+1357)+104√50-225√5}/{5√(416√10+1357)-156√50-865√5}
=-0.176607...
x=π-arcsin{(20+52√10)/185}の時
y(max)={-104√50+5√(1357-416√10)-225√5}/{156√50+5√(1357-416√10)-865√5}
   =1.50994...
が求まります。

途中計算でどこかで間違っているようです。
>(10-2√10)/15から(10+2√10)/15
これは間違い。たとえばx=-π/2でy<0、x=π/2でy>1.4になり最小値、最大値は質問者さんの求めた範囲から飛び出しています。

yは周期2πの周期関数なのでyの範囲は1周期、たとえば-π<x≦πでyの取りうる範囲を調べれば十分です。
1周期の範囲に渡って増減表を作れば最小値、最大値が求まります。

-π<x≦πで考えると極小値(最小値となる)と極大値(最大値となる)が各1つずつ存在することが増減表から(グラフから)分かり...続きを読む

Qx+y=u、xy=vとする。x^2+xy+y^2=1の最大値と最小値を

x+y=u、xy=vとする。x^2+xy+y^2=1の最大値と最小値を求めなさい。
という問題です。出来るだけ詳しい回答をお願いします。

Aベストアンサー

x^2+xy+y^2=1をu,vで書きなおすと
u^2-v=1
よって
v=u^2-1 (1)
uをいくら多いくしても小さくしても(1)の関係さえ成り立ってればよいのではないか、
従ってuの最大値は∞、最小値は-∞と考えたくなりますが
一つ条件を忘れています。
それはx,yが実数であるということです。
x,yを解とする2次方程式は
t^2-(x+y)t+xy=0
よって
t~2-ut+v=0
これが実解を持つ条件は判別式Dが
D=u^2-4v≧0

v≦u^2/4 (2)

u,v平面に(1),(2)のグラフを描いてみると
結局放物線(1)の(2)より下の部分(交点もOK)
であることが解ります。
最大値は交点の正の方、最小値は負の方ということで
uの最大値は2√3/3、最小値は-2√3/3

さらにこのようなx,yが存在することを確認することが必要です。
u=2√3/3のときx=y=√3/3,u=-2√3/3のときx=y=-√3/3
よってOKです。

Qy=sinxcosxとy=sinx+cosx

y=sinxcosxとy=sinx+cosxのグラフの書き方が分かりません。sinとcosのグラフを書いてその二つをかけたり足したりすればいいのでしょうか?

Aベストアンサー

単にグラフを描きたいだけならExcelで簡単にできます。以下の手順でグラフを描いてみてください。これはVBAを使った計算プログラムですが、(1)から(5)までの手順を行えば簡単にできます。

(1)Excelを起動→キーボードのAltキーを押しながらF8キーを押す(Atl+F8)と、マクロというウィンドウが出るので、その名前欄(マクロ名(M)の下の箱)に適当な名前(aaa)をかきこんで(括弧はつけないで aaa だけ記入)、実行をクリック

(2)画面が変わって、Microdoft Visual Basic ... というのになりますが、真っ白な画面に出ている Sub aaa() と End Sub の間の空の行に、以下のプログラムをコピー&ペーストします(以下の文をマウスで選択してCtrl+Cでコピー、Ctrl+Vでペースト)。

↓ここからコピー
Dim i As Integer, n As Integer, x As Single, x0 As Single, x1 As Single
'
n = 100 ' データ点は100個
x0 = 0: x1 = 2 * 3.141593 ' x=0から2*πまでの範囲
'
For i = 0 To n
x = x0 + i * (x1 - x0) / n ' xの計算
Cells(i + 1, 1) = x ' ワークシートのA列に x の値を書き込む
Cells(i + 1, 2) = Sin(x) * Cos(x) ' ワークシートのB列に sinxcosx の値を書き込む
Cells(i + 1, 3) = Sin(x) + Cos(x) ' ワークシートのC列に sinx+cosx の値を書き込む
Next i
↑ここまでコピー

(3)ペーストすると、以下のようになると思います。

Sub aaa()
Dim i As Integer, n As Integer, x As Single, x0 As Single, x1 As Single
'
n = 100 ' データ点は100個
x0 = 0: x1 = 2 * 3.141593 ' x=0から2*πまでの範囲
'
For i = 0 To n
x = x0 + i * (x1 - x0) / n ' xの計算
Cells(i + 1, 1) = x ' ワークシートのA列に x の値を書き込む
Cells(i + 1, 2) = Sin(x) * Cos(x) ' ワークシートのB列に sinxcosx の値を書き込む
Cells(i + 1, 3) = Sin(x) + Cos(x) ' ワークシートのC列に sinx+cosx の値を書き込む
Next i
End Sub

(4)Excelのワークシート画面(表が出ているウィンドウ)に戻って、キーボードのAltキーを押しながらF8キーを押す(Atl+F8) → 再びマクロというウィンドウが出るので、その「実行」をクリックする(カーソルを合わせないでEnetキーを押すだけでもいい) → ワークシート画面のA列にxの値、B列にsinxcosxの値、C列にsinx+cosxの値がズラリと出る!。

(5) (グラフの描き方をご存知なら以下は飛ばしてください)
セルA1からC101までをマウスカーソルで選択して → メニューの「挿入」 → 「グラフ」 を選択 → グラフの種類の「散布図」を選んで「形式」は適当なのを選んで「完了」をクリック → これで sinxcosx と sinx+cosx のグラフが描画されます。

なお、このプログラムでは 、データ数は 100 、x の範囲は 0 から 2*π まででとしていますが、これを変えるには、プログラム中の以下の数値(nとx0とx1)の値を書き換えてください。n を変えたときは、(4)をもう1度実行して、さらにワークシートに出ているグラフの描画範囲も変えてください。

n = 100 ' データ点は100個 → n を大きくすると細かいグラフになります
x0 = 0: x1 = 2 * 3.141593 ' x=0から2*πまでの範囲 → x0=-10:x1=10 とすれば -10≦x≦10 の範囲のグラフが描けます

単にグラフを描きたいだけならExcelで簡単にできます。以下の手順でグラフを描いてみてください。これはVBAを使った計算プログラムですが、(1)から(5)までの手順を行えば簡単にできます。

(1)Excelを起動→キーボードのAltキーを押しながらF8キーを押す(Atl+F8)と、マクロというウィンドウが出るので、その名前欄(マクロ名(M)の下の箱)に適当な名前(aaa)をかきこんで(括弧はつけないで aaa だけ記入)、実行をクリック

(2)画面が変わって、Microdoft Visual Basic ... というのになりますが...続きを読む

Qx+y+z=3 x^2+y^2+z^2=9のとき、4xyの最大値 最

x+y+z=3 x^2+y^2+z^2=9のとき、4xyの最大値 最小値はいくらになりますか x、y、zは実数

Aベストアンサー

言いたくはないけど、何でもかんでも微分と言うのはやめようよ。

いずれにしても、zは不要になる。

x+y=a、xy=bとすると、実数条件から a^2-4b≧0 ‥‥(1)
とすると、条件は a+z=3 x^2+y^2+z^2=(x+y)^2-2xy+z^2=a^2-2b+z^2=9 からzを消すと b=a^2-3a ‥‥(2)
(1)と(2)から、0≦a≦4 ‥‥(3) 4xy=4b=4(a^2-3a)=4(a-3/2)^2-9 これはaの2次関数だから (3)の範囲で考えると -9≦4xy≦16。
但し、最大値と最小値を与えるxとyの値は?


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