文字を含む不等式

x^2-(a+a^2)x+a^3<0を解く問題です。とりあえず、(x-a)(x-a^2)<0と因数分解します。そしてaの場合わけですが、そこが少し分かりません。３つの場合わけのうち一つを例にとって見ました。
a<a^2のとき
a(a-1)>0よりa<0,1<a ここまでは分かりますが、そのときの不等式の解が a<x<a^2らしいですが、ここが分かりません。「a<0,1<a」というのは「a<a^2のとき」を分かりやすく具体的に変形した物に過ぎないと理解していいのでしょうか。

No.5 ベストアンサー 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2006/04/23 12:20

＞そしてaの場合わけですが、そこが少し分かりません。

３つの場合わけのうち一つを例にとって見ました。

私の解法とは別に、貴方の方法に沿って解いてみます。

α＝a、β＝a^2として、(x-a)(x-a^2)＜0　→　(x-α)(x-β)＜0を解きます。
(1)　α＞β　の時は、β＜x＜α
(2)　α＝β　の時は、(x-α)＾2＜0より、求める解はない。
(3)　α＜β　の時は、α＜x＜β

あとは、(1)から(3)のαとβに、α＝a、β＝a^2を代入すれば、自動的に答えは出ます。

No.4 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2006/04/23 11:54

もし、座標を習ってるなら、簡単な方法を示します。

(x-a)(x-a^2)＜0より、
(1)　x-a＞0、x-a^2＜0、又は、(2)　x-a＜0、x-a^2＞0が成立します。
この2つを、ax平面上に図示します。
(通常のy軸にxを、通常のx軸にaを取ると良いです)
そうすると、結果はほとんど自明だと思います。

ａ＞１のときは、ａ＜ｘ＜ａ^2
ａ＝１のときは、求めるｘの範囲は存在しない。
0＜a＜1のときは、ａ＾2＜ｘ＜ａ
ａ＝0のときは、求めるｘの範囲は存在しない。
ａ＜0のときは、ａ＜ｘ＜ａ^2

No.3 回答者： sanori 回答日時： 2006/04/23 10:42

(x-a)(x-a^2)＝０の解が

ｘ＝ａとｘ＝ａ^2
というのは簡単に分かりますよね。

この不等式では、ｘ^2 の項に未知数がかかっていないので、符号がプラスであることは確定しています。
つまり、二次関数
y = f(x) = (x-a)(x-a^2)
のグラフは、下に凸です。
そして、Ｘ軸と交わる点が、ｘ＝ａとｘ＝ａ^2です。
つまり、ａとａ^2の間がｙ＜０です。
（ｘ＝ａ丁度とｘ＝ａ^2丁度は含まない。）

ｙ＜０になるためには、（グラフの考え方より）
ａ＜ｘ＜ａ^2　または　ａ^2＜ｘ＜ａ
であれば良いです。

すなわち、

ａ＞１　であれば　ａ＜ｘ＜ａ^2
になりますし
ａ＜１　であれば　ａ^2＜ｘ＜ａ
ただし、ａ≠０


最後の４行の証明を書き加えれば、いっちょ上がり。

No.2 回答者： m234023b 回答日時： 2006/04/23 10:38

＞「a<0,1<a」というのは「a<a^2のとき」を分かりやすく具体的に変形した物に過ぎないと理解していいのでしょうか。

そうです．aについての不等式a<a^2を解いたにすぎません．

No.1 回答者： yuki0012 回答日時： 2006/04/23 10:37

a<x<a^2のとき、x-a>0,x-a^2<0だから(x-a)(x-a^2)<0ということです。