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「10本のくじの中に3本の当たりくじと1本のチャンスくじとがある。チャンスくじを引いたときは引き続きもう1本引くものとする。A、Bの順にくじを一回ずつ引くとき(引いたくじはもとに戻さない)、A、Bのどちらが当たりくじを引く確率が大きいか」

という問題で、解答は

「○…当たりくじ、△…チャンスくじ、*…チャンスくじ以外のくじ(当たりorはずれ)と決める。

1本目と2本目のくじの順列は、
○△、○*、△○ の3タイプで、
3×1+3×8+1×3(通り)
よって、Aが○を引く確率は
(3×10)/(10×9)=3/9…(1)

また、Bが○を引くような3本目までの順列は、
*○-、△*○、*△○(-は全く自由)
の3タイプで、各タイプ「○、△、*、-」の順に数えると、3タイプの合計は、
3×8×8+3×1×8+3×1×8
=3×8×10(通り)
よって、Bが○を引く確率
(3×8×10)/(10×9×8)は(1)に等しいので、当たりくじを引く確率はA、B同じである。

となっています。おそらく、これは正しいのでしょうが、わからないことがあるので質問させてください。

質問1 解答の4行目で「○△、○*、△○ の3タイプ」とありますが、一回目に当たったら、その後は考える必要はないのではないのでしょうか?だから、この考え方ではいけないと思います。 

質問2 「*○-」の部分は、*であたりがでたら、最後の「-」はいらなくなるから、この考え方はだめではないでしょうか? また、*は、はずれがでる必要があるから、3×8×8は3×6×8になるのでは?

A 回答 (3件)

これは確かに理解するのになかなか悩む考え方ですね。



>質問1 解答の4行目で「○△、○*、△○ の3タイプ」とありますが、一回目に当たったら、その後は考える必要はないのではないのでしょうか?だから、この考え方ではいけないと思います。
もし、あなたの考え方が次のような考え方ならば確かに「一回目に当たったら、その後は考える必要はない」という考え方が成り立ちます。

つまり、Aが当たる場合は○を1回目に出すか、△を出した後○を出すので

3/10+1/10×3/9・・(1)

と考えたときには○の後のことを考える必要はありません。

しかし、解答をよく見てみましょう。
(3×10)/(10×9)=3/9
全体の分母が10×9になっていますね?

つまり、初めの3/10の部分の後に9/9をかけたものと同値になります。要するに、分母をあわせるために分子にも9をかけたんです。

これが何を意味しているかというと、
3/10+1/10×3/9
のように1回目に○が出た後考えなくていい考え方もあるけど、とりあえずAに2回引かせて(10×9を考えたおいて)そのうち○-と△○のパターンがAの当たりだと考えたという意味になります。
※下に-は全く自由という記号を出しているのにわざわざ○△、○*に分けている理由はよくわかりません

>質問2 「*○-」の部分は、*であたりがでたら、最後の「-」はいらなくなるから、この考え方はだめではないでしょうか? また、*は、はずれがでる必要があるから、3×8×8は3×6×8になるのでは?
もほぼ同様です。
最後の「-」がいらなくなるするように考えたときには分母は(10×9×8)じゃなくて、(10×9)になるんです。

これを(1)と同様の考え方で解こうとすると、
1 Aが1回で当たる
2 Aがチャンスを引いた後当たる
3 Aがチャンスを引いた後外れる
4 Aが1回で外れる
の場合わけをした後、それぞれBが当たるパターンを考えなければいけないので案外面倒です。
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この回答へのお礼

解答では、Aが、とにかく二回、または三回くじを引ききった場合を考えていたんですね。freedom560さんのおかげで理解できました。説明してくださってどうもありがとうございました。

お礼日時:2006/04/28 19:30

no2です


もうひとつの考え方を思いつきました

ABともに当たるのは、以下の3通りです
(1)○○  3/10*2/9
(2)○△○ 3/10*1/9*2/8
(3)△○○ 1/10*3/9*2/8
Aが当たってBが外れるのは
(1)○×  3/10*6/9
(2)○△× 3/10*1/9*6/8
(3)△○× 1/10*3/9*6/8
Aが外れてBが当たるのは
(1)×○  6/10*3/9
(2)×△○ 6/10*1/9*3/8
(3)△×○ 1/10*3/9*6/8
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質問1,2とも、あなたが疑問を感じるのは当然です。

まだ質問1は、なんでこんなことするの?って感じで、間違いとはいえないと思いますが、おっしゃるとおり場合わけする必要はないでしょう

質問2は指摘とおり間違っていると思います。問題なのは、Bの当たる確率を考えるときに、Aが当たって、Bも当たる場合がまったく考慮されていません。

この回答例に従って、説明しようと思いましたが、複雑怪奇なのでやめます

そのかわり私はこう考えます。チャンスくじは、再度引きなおすので、あってもなくても同じ。したがって最初からないものをみなす(くじは9本と考えます)

したがってAの当たる確率は、3/9
Bの当たる確率は、Aが当たる場合とはずれる場合とを考えて
3/9*(2/8)+6/9*(3/8)=1/3
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この回答へのお礼

理解できました。説明してくださってどうもありがとうございました。

お礼日時:2006/04/28 19:31

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