第一余弦定理の証明

a=ccosB+bcosC
b=acosC+ccosA
c=bcosA+acosB
という第一余弦定理の証明が書いていなく分からなかったので教えてください。
また、この公式は学校で習ったものではありませんが、普通高校で習うものでしょうか。大学入試などではよく使われるものでしょうか。

No.4 ベストアンサー 回答者： take008 回答日時： 2006/04/30 19:43

以前は，この公式を第一余弦定理，今単に余弦定理と呼ばれている公式を第二余弦定理といっていました。

第二余弦定理は，第一余弦定理の各式にａ，ｂ，ｃをかけて，ａ^2＋ｂ^2－ｃ^2 を計算して導きました。
角Ｃが鈍角の鈍角三角形でも第一余弦定理が成り立つように cosＣ＝－cos(180゜－Ｃ) と「定義」しました。

しかし，現在は余弦定理は第二だけをいいます。
その理由は（私見ですが）
第一余弦定理は，頂点から対辺に垂線を引くとすぐにわかるので，定理とするまでもない。
第一余弦定理から第二余弦定理を導くのは代数的であって幾何的でないので適当でない。
どうせ数学IIで一般角の三角関数を単位円を使って定義するので，鈍角の場合も三角形でなく単位円で定義した方が楽だ。

私は昔の方が数学的で好きです。

No.3 回答者： ojisan7 回答日時： 2006/04/30 18:25

図をかけばすぐ分かる定理です。

証明の必要もないでしょう。学校で習わなくても、知っていて当然の定理です。

No.2 回答者： tatsumi01 回答日時： 2006/04/30 18:19

a=ccosB+bcosC

頂点 A から BC (長さ a) に垂線を下ろし、その足を H とします。
以上で終わりなんですが、蛇足を付け加えれば、左右の直角三角形で
BH = c cosB
CH = b cosC
AB = BH + CH
ですから最初の式が成立します。以下も同じ。
大学入試で出るかどうかは知りませんが、高校の教科書に出ているなら試験に出ても不思議はありません。

No.1 回答者： noname#20378 回答日時： 2006/04/30 18:17

この「公式」は見たこないなぁ。

第二余弦定理ばかり使うから。で、困ったときはWikipedia♪と思って調べたら

『この関係は、頂点から対辺に垂線を下ろすことで、簡単に確かめることができる。』

だそうです。引いてみてください。簡単でした。