底面の半径がr、高さがhの円錐の円錐がある、表面積をS、体積をVとすると
Sを一定に保ちながらVを最大にする、最大になったときのh/rの値を求めよ
という問題なのですが、

式をたてたところ、S=3V/h(1+(√πh^3/3V+1))(中のカッコ内全てルートの中です)
となり、ここでどうにもならなくなっちゃいました。
式が間違っているのでしょうか?それともこの式から先があるのでしょうか?
教えて下さい 宜しくお願いします。

A 回答 (3件)

 


  まず、面倒な計算になるのですが、わたしは、真面目に地道に計算してみます。答えまで出しますが、参照にしてください。
  
  1)
  最初に、円錐の全表面積Sを求めます。Sは、側面部分の表面積S1と、底面の表面積S2の合計です。S=S1+S2 です。
  
  S2=πr^2
  S1=π(r^2+h^2)X{2πr/2π√(r^2+h^2)}
    =πr√(r^2+h^2)
  S1は、円錐の曲がった部分で、展開すると大きな円の弧に応じた部分の面積です。大きな円の半径は、√(r^2+h^2)で、この弧の長さに当たるのが、2πrなのです。
  
  S=S1+S2=πr^2+πr√(r^2+h^2)
  
  ここで、Sは、定数なので、h^2 を、Sとrで表現できるはずです。
  S-πr^2=πr√(r^2+h^2)
  √(r^2+h^2)=(S-πr^2)/πr=S/πr-r
  r^2+h^2=(S/πr-r)^2=(S^2)/(π^2)(r^2)+r^2-2S/π
  → h^2=(S^2)/(π^2)(r^2)-2S/π
  
  
  2)
  次に、円錐の体積Vを求めます、これは、簡単な式になります。
  V=(1/3)hπr^2
  
  そこで、このVから、h を消去して、一変数関数にし、その極値を微分して求めると、最大値になる場合が出てきます。
  V>0ですから、V^2で考えても、最大値は同じです。
  V^2=(1/9)(π^2)(r^4)(h^2)
  また、定数係数は、最大値計算では、微分過程で、無関係なので、(1/9)(π^2)を外し、W=9V^2/π^2 を考えます
  Wに、先に求めたh^2 を代入します。
  → W=(r^4)(h^2)=(r^4){(S^2)/(π^2)(r^2)-2S/π}
  =(S^2)(r^2)/(π^2)-2Sr^4/π
  極大のため微分するのですから、Y=π^2XW で計算しても問題ありません。
  Y=(S^2)(r^2)-2πSr^4
  
  これを、r で微分し、0と置いて、極値を求めます。
  dY/dr=2(S^2)r-8πSr^3=0
  
  r=0 が解の一つですが、これでは、円錐になりません。rは0でないので、両辺をこれで割ることができます。また、Sも定数ですから、これで両辺を割ることができます。
  2(S^2)r-8πSr^3=0 → 2S-8πr^2=0
  → r^2=S/4π
  → r=+√(S/4π)
  この r の時に「極値」ですが、これは、最大か最小か、中間値かを考えると、極値は一つしか出ていませんし、(もう一つ r=0 の時がありましたが、あれが最小値です)、表面積を一定にして、体積が無限に発散することはありえないので、この極値は、最大値の極値ということになります。
  
  
  3)
  h^2/r^2 を計算します。h,r>0 ですから、開平しなくとも問題ないのです。
  また、r^2 は、上の値で考えます。
  h^2/r^2={(S^2)/(π^2)(r^2)-2S/π}/(S/4π)
  ={(S^2)/(π^2)(S^2/16π^2)-8}
  =16-8=8
  
  h^2/r^2=8 ですから、h/r=2√2
 
  計算や思考法が下手で、エレガントに答えが出てきませんが、これが答えだと思います。
 
  (なお、この計算では、Sを定数と考えて計算しているので、具体的には、r, h ,S,Vは出てきていません。それらを計算しようとすると、もう少し複雑な式の計算をしなければなりません。あるいは、r をSの式に代入して、Sが定数であることより、これを、微分して0になるようにすれば解けそうですが、そのためには、h の値が必要となるということで、別の考え方が必要なように思えます。上の計算や考え方は、これで、h/r を求める方法です。この計算では、r は、Sを含む形で出てきており、h もSを含むので、h/r を計算すると、丁度Sが消えてくれるので、答えが出るので、上に言ったことを繰り返せば、これで、r.h,Sなどの具体値が出ているのではなく、また、すぐに出てくるとは、わたしには思えません)。
 
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この回答へのお礼

ありがとうございました。。
とてもよくわかりました(^^)

お礼日時:2002/02/08 20:05

問題は、2変数関数V(r,h)の最大値を求める問題で、制約条件は各変数の非負性と、Sに関する等式制約ですよね?


「等式の条件式があるので、これを用いて文字消去」し、1変数関数の問題にしてあげれば、比較的簡単に解けませんでしょうか?
(ちなみに鍵括弧内の文言は、多変数の問題を考える上では武器になると思います。チャート式にも「等式あれば 文字消去」みたいなのないかなぁ?)
概略を簡単に示すと、
(1)面積の条件式より、h^2=(S/r)(S/r - 2r)
(2)V^2を考え(単純に√が嫌なだけです。Vの最大化とV^2の最大化は本問では明らか)(1)の式を代入して、V^2=(1/3)*πS*(Sr^2-2r^4)
(3)(d/dr)V^2を考え、r>0の元でV^2を最大とするrを求める。
(4)(1)の式に(3)の結果を代入してhも求める。
答えは、2√2になりました。

#Sは定数扱いするという概念と、r,hが変数で、Vがそれらの関数となるという、一番スタートのところがじゅうぶん整理できていなかったのではないでしょうか?
この回答は実は#1でnuubouさんがおっしゃっていることそのまんまだったりします。(笑)
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時:2002/02/08 20:06

Sは一定なのだから


S=
とするよりも
V=
としたほうがいいのでは?
しかも
V=f(h)
よりも
V=f(r)
の形の方が良さそうですね
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます

お礼日時:2002/02/08 20:06

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Q数学の質問です。体積が最大になる時の円錐の高さを求めたいです。

微分の教科書を使って勉強をしていると、次のような練習問題がありまして、頭を悩ませております。

◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇
問題:
図(添付画像)の直円錐で、頂点Oから底面の円周上の点Aまでの
長さaが一定であるとき、その体積が最大になる場合の高さを
求めよ。
◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇

答えは「(√3/3)a」らしいです。
円錐の体積の面積は、「1/3×(底面積)×(高さ)」なので、この公式を用いれば、半径をrとすると、

直径の面積×π×h×1/3
=(2πr/3)h

となるのですが・・・解答には"r"や"h"が出てきていないので、全部aを使って表すことができるということなのでしょうか?
どうすれば体積を最大にする高さを求められるのかご教授いただきたいです(>_<)
よろしくお願いします<m(__)m>

Aベストアンサー

 高さが h であるから、底面の半径は √(a^2 - h^2) となります。

 円錐の体積は (1/3)底面積×高さ ですから、

 V=(1/3)π(a^2 - h^2)h
  =(1/3)πa^2h - (1/3)πh^3

 体積 V が h の関数で表されるので、0<h<a の範囲で V が最大になる h を求めればいいことになります。

 V を h で微分すると (1/3)a^2 - h^2 となり、これが 0 になるのは ±(√(1/3))a でここが極値になります。あとは、hの範囲 0<h<a とか、h=0 と h=a で V が 0 になることとか、V の増減を確認すれば、

>答えは「(√3/3)a」らしいです。

にたどり着けますよ。


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