底面の半径がr、高さがhの円錐の円錐がある、表面積をS、体積をVとすると
Sを一定に保ちながらVを最大にする、最大になったときのh/rの値を求めよ
という問題なのですが、

式をたてたところ、S=3V/h(1+(√πh^3/3V+1))(中のカッコ内全てルートの中です)
となり、ここでどうにもならなくなっちゃいました。
式が間違っているのでしょうか?それともこの式から先があるのでしょうか?
教えて下さい 宜しくお願いします。

A 回答 (3件)

 


  まず、面倒な計算になるのですが、わたしは、真面目に地道に計算してみます。答えまで出しますが、参照にしてください。
  
  1)
  最初に、円錐の全表面積Sを求めます。Sは、側面部分の表面積S1と、底面の表面積S2の合計です。S=S1+S2 です。
  
  S2=πr^2
  S1=π(r^2+h^2)X{2πr/2π√(r^2+h^2)}
    =πr√(r^2+h^2)
  S1は、円錐の曲がった部分で、展開すると大きな円の弧に応じた部分の面積です。大きな円の半径は、√(r^2+h^2)で、この弧の長さに当たるのが、2πrなのです。
  
  S=S1+S2=πr^2+πr√(r^2+h^2)
  
  ここで、Sは、定数なので、h^2 を、Sとrで表現できるはずです。
  S-πr^2=πr√(r^2+h^2)
  √(r^2+h^2)=(S-πr^2)/πr=S/πr-r
  r^2+h^2=(S/πr-r)^2=(S^2)/(π^2)(r^2)+r^2-2S/π
  → h^2=(S^2)/(π^2)(r^2)-2S/π
  
  
  2)
  次に、円錐の体積Vを求めます、これは、簡単な式になります。
  V=(1/3)hπr^2
  
  そこで、このVから、h を消去して、一変数関数にし、その極値を微分して求めると、最大値になる場合が出てきます。
  V>0ですから、V^2で考えても、最大値は同じです。
  V^2=(1/9)(π^2)(r^4)(h^2)
  また、定数係数は、最大値計算では、微分過程で、無関係なので、(1/9)(π^2)を外し、W=9V^2/π^2 を考えます
  Wに、先に求めたh^2 を代入します。
  → W=(r^4)(h^2)=(r^4){(S^2)/(π^2)(r^2)-2S/π}
  =(S^2)(r^2)/(π^2)-2Sr^4/π
  極大のため微分するのですから、Y=π^2XW で計算しても問題ありません。
  Y=(S^2)(r^2)-2πSr^4
  
  これを、r で微分し、0と置いて、極値を求めます。
  dY/dr=2(S^2)r-8πSr^3=0
  
  r=0 が解の一つですが、これでは、円錐になりません。rは0でないので、両辺をこれで割ることができます。また、Sも定数ですから、これで両辺を割ることができます。
  2(S^2)r-8πSr^3=0 → 2S-8πr^2=0
  → r^2=S/4π
  → r=+√(S/4π)
  この r の時に「極値」ですが、これは、最大か最小か、中間値かを考えると、極値は一つしか出ていませんし、(もう一つ r=0 の時がありましたが、あれが最小値です)、表面積を一定にして、体積が無限に発散することはありえないので、この極値は、最大値の極値ということになります。
  
  
  3)
  h^2/r^2 を計算します。h,r>0 ですから、開平しなくとも問題ないのです。
  また、r^2 は、上の値で考えます。
  h^2/r^2={(S^2)/(π^2)(r^2)-2S/π}/(S/4π)
  ={(S^2)/(π^2)(S^2/16π^2)-8}
  =16-8=8
  
  h^2/r^2=8 ですから、h/r=2√2
 
  計算や思考法が下手で、エレガントに答えが出てきませんが、これが答えだと思います。
 
  (なお、この計算では、Sを定数と考えて計算しているので、具体的には、r, h ,S,Vは出てきていません。それらを計算しようとすると、もう少し複雑な式の計算をしなければなりません。あるいは、r をSの式に代入して、Sが定数であることより、これを、微分して0になるようにすれば解けそうですが、そのためには、h の値が必要となるということで、別の考え方が必要なように思えます。上の計算や考え方は、これで、h/r を求める方法です。この計算では、r は、Sを含む形で出てきており、h もSを含むので、h/r を計算すると、丁度Sが消えてくれるので、答えが出るので、上に言ったことを繰り返せば、これで、r.h,Sなどの具体値が出ているのではなく、また、すぐに出てくるとは、わたしには思えません)。
 
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この回答へのお礼

ありがとうございました。。
とてもよくわかりました(^^)

お礼日時:2002/02/08 20:05

問題は、2変数関数V(r,h)の最大値を求める問題で、制約条件は各変数の非負性と、Sに関する等式制約ですよね?


「等式の条件式があるので、これを用いて文字消去」し、1変数関数の問題にしてあげれば、比較的簡単に解けませんでしょうか?
(ちなみに鍵括弧内の文言は、多変数の問題を考える上では武器になると思います。チャート式にも「等式あれば 文字消去」みたいなのないかなぁ?)
概略を簡単に示すと、
(1)面積の条件式より、h^2=(S/r)(S/r - 2r)
(2)V^2を考え(単純に√が嫌なだけです。Vの最大化とV^2の最大化は本問では明らか)(1)の式を代入して、V^2=(1/3)*πS*(Sr^2-2r^4)
(3)(d/dr)V^2を考え、r>0の元でV^2を最大とするrを求める。
(4)(1)の式に(3)の結果を代入してhも求める。
答えは、2√2になりました。

#Sは定数扱いするという概念と、r,hが変数で、Vがそれらの関数となるという、一番スタートのところがじゅうぶん整理できていなかったのではないでしょうか?
この回答は実は#1でnuubouさんがおっしゃっていることそのまんまだったりします。(笑)
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時:2002/02/08 20:06

Sは一定なのだから


S=
とするよりも
V=
としたほうがいいのでは?
しかも
V=f(h)
よりも
V=f(r)
の形の方が良さそうですね
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます

お礼日時:2002/02/08 20:06

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Aベストアンサー

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Q円錐の展開図

主婦です。図形のわかる方教えてください。

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お願いします。

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まず円錐台の上の消えた部分を再現して円錐にします。
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ここからが作図です。
Φは直径のことだと思うので
円錐の側線の長さは
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これを半径に円(扇形)を描きます。
(38π/100π)×360°=136.8°
の扇形

これから上の方を切り取ります。
その長さ(半径)は
√(31.4^2+13^2)=33.98
およそ34mm

書いているうちに他の人の回答が出てきて微妙に違って
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検算をしてから参考にしてください。

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Aベストアンサー

>問2については∫(y/h・r)^2・3.14で円柱の面積がもとまり
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です。
>円錐は円柱の面積の1/3なので1/3∫(y/h・r)^2・3.14という解答を作りまし
円錐の体積V=∫[0→h] π(ry/h)^2 dy
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=π{(r/h)^2}[(1/3)y^3] [0→h]
=π{(r/h)^2}(1/3)(h^3-0)=(1/3)π(r^2)h
と解きます。
>重積分を使って解くべきなのか、
回転体の積分になりますので重積分の必要性はありません。

Q円錐台の展開図

円錐台の展開図を描きたいのですが、全く計算が出来ないので、
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何度か同じようなお願いをしていて申し訳ないですが、宜しくお願いします。

Aベストアンサー

> 「弧長」は各円の弧のことでしょうか?
> そうだとすると、式が二つになるのでしょうか?

そう解釈していいです。
展開図上の円周の一部としての弧を考えてください。

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Q高さa,底面の円の半径aの円錐を、底面の円の中心を通り、底面と45°の

高さa,底面の円の半径aの円錐を、底面の円の中心を通り、底面と45°の角度で交わる平面で
切断したとき、小さい方の体積を求めよ。

これを次のように考えましたが、答えとは異なるのですが、
考え方のどこが間違っているのか分かりません。考え方を示しますので
誤りをご指摘ください。
最初に切断したときの切り口をS1とする。
次に小さい方の体積を切り口S1に平行な平面で切った切り口をS2とする。
このとき、S1とS2は相似な図形だから、以下、S1に平行な平面で切った
切り口はすべて相似であることから、この切り口の面積を積分すると求める体積になると
思いました。
中心を通って、S1と45°になる直線をX軸にして、中心のX座標を0として、
積分の式は、S1の面積をAとするとA×∫[0~a](a-x)^2/2dxとなりました。

Aベストアンサー

>(1)簡単に相似でないと判断はできる方法は?

「すべての放物線は相似である」は正しいですが、放物線の一部だけを見た場合は相似とは限りません。
例えば、y=x^2とy=2x^2とは相似としていいですが、-1≦x≦1の区間だけにすると相似ではありません。
相似であると明確に証明できない限りはむやみに相似と判断しないことです。


(2)もし、相似だったら質問のような方法で積分してよいのでしようか?

(a-x)^2/2がどこからきたのかわかりませんが、相似でなくても考え方の方向は合ってます。

S1の面積をAとすると、これはx=0のときの面積だから、
x=tのときの面積は、縦方向に(a-t)/a倍、横方向に√(a^2-t^2)/a倍したものになります。
(x=0のとき1倍、x=aのとき0倍になる)

よって、求める体積は、

V=(√2/2)×A×∫[0~a]((a-x)/a)(√(a^2-x^2)/a)dx

となります。(初めの(√2/2)は切り口が45度傾いているため)

Q偏芯円錐の展開図や楕円の書き方

以前に正円錐の展開図の書き方を回答してもらい解決しましたが
偏芯した円錐の展開図を書く方法、あるいは参考HPなどを教えてください。
たぶん、楕円形になると思うのですが、思えば楕円形をきちんと書く方法も疑問です。
数学は苦手ですのでもしかしたら理解不能かもしれませんがヒントだけでもなれば、できればがんばって身に付けたいと思っています。
製図のジャンルになるのか数学カテなのかどうか分かりません、カテ違いならそれもご指摘ください。

Aベストアンサー

#1です。
別のHPも見つけましたので参考にして下さい。

側面の展開図は頂点と側面の稜線と中心角で作図していくことになりますが、
円錐立体の側面の製図作図法の例がありますので参考URLをみて展開図を作図されたら良いでしょう。
なお、参考URLで製図に使っているソフトは無料のフリーソフトで人気のあるCADソフトです。
ダウンロード先:​www.jwcad.net/index.htm​など。

なお参考URLのpdfファイルはAdobe AcrobatReader(無料ソフト)で開きます。Windows XPのなら最初からインストールされていてIEで開けるようになっていると思います。

参考URL:http://www.ait-sapporo.ac.jp/~shokunou/201_mono/menu/kadai2-2.pdf

Q97=3/(1+r)+103/(1+r)^2

97=3/(1+r)+103/(1+r)^2

このrの求め方の途中計算方法を教えてください

Aベストアンサー

103/(1+r)^2 +3/(1+r) -97=0

2次方程式の公式を用いて
1/(1+r)=(-3±√(39973))/206

(1+r)=206/(-3±√(39973))

r=(-191±√(39973))/194
≒0.046043755698603, -2.015115920647057


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