離散構造論の問題

非負の実数と∞から成る集合A 上の代数系(A,△,▽)を次のように定義する
x△y　＝　x+y (xもyも∞でないとき)
　　　　　∞(x＝∞またはy＝∞のとき)

x▽y　＝　min(x,y)　(xもyも∞でないとき)
　　　　　x (xが∞でなくy＝∞のとき)
　　　　　y (x＝∞でyが∞でないとき)
　　　　　∞(x＝∞　かつy＝∞のとき)

問題1　代数系(A,△,▽)の性質を論ぜよ
問題2　代数系(A,△,▽)と他の代数系との間の準同形の例を示せ

という問題ができません。教えていただけませんか？

No.1 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2002/02/14 05:21

回答つかないですねえ。

問題１は、まずそれぞれの演算がA上で閉じているかどうかをチェック。そして、それぞれの演算について単位元の存在、逆元の存在、結合則、交換則、また両方を組み合わせての分配則、吸収則を調べ、何という代数構造なのかを見極める。それから、他にも何か特徴が無いか？と考えてみます。

問題２は、A={非負の実数}∪{∞}で定義されているのを
φ: A→{0,1}
φ(x)= if x=∞ then 1 else 0
という写像をしてみると分かるかな？

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
問題１のほうはおかげさまで何となく（それぞれの演算について可換群とか、可換半群とか言えばいいのかな）わかるんですが、
問題２の方がいまいちわからなくて、
△の演算について準同型写像はlog（∵log(x+y)=logx＋logy）
▽の演算について準同型写像は×ｎ（ｎは非負の実数）
（∵min(x×n,ｙ×n)＝(min（x,y))×n)
とか考えてみたんですが、根本的に違うかも・・・。できればもう少しヒントが欲しいです（泣）

お礼日時：2002/02/14 23:07

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2002/02/15 03:46

準同型てのは、

●：X×X→X
という二項演算●がX上で定義されているとき、
φ： X→Y
という写像と、Y上の二項演算○
○：Y×Y→Y
があって、
∀x∀y∀z((x∈X ∧ y∈X ∧ z=x●y) → φ(z) = φ(x)○φ(y))
が成り立つ、そういう(X,●)から(Y,○)への対応付けのことです。

この場合、
φ(x)= if x=∞ then 1 else 0
として△も▽もそのまま意味を変えないで{0,1}に適用してみると、({0,1},△,▽)がどういう代数系になってるか分かると思うな。△と▽それぞれについて僅か４通りの計算しかないんだから、列挙してみては如何？

勿論、準同型写像はこれに限ったもんじゃないですが。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

さっそく列挙してみて考えたところ。
（Ａ,△,▽)から（Ｂ={0,1},○）の
準同型写像　φ(x)=if　x=∞　then　1　else　0　において
(ⅰ)　x=5,y=∞　（x,y∋A)の時、
φ(5△∞)=1=φ(5)○φ(∞)
φ(5▽∞)=0=φ(5)○φ(∞)
を満たす○の２項演算が見つかりません。
それとも、"A上の各演算に対応する準同型"（つまり、△に対する準同型、▽に対する準同型という風に２つ求める)という風に見つければよいのでしょうか。

度々の質問申し訳ありません。。

お礼日時：2002/02/16 04:30

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2002/02/18 03:06

準同型がどういう意味か、もう一度復習なさることをお薦めします。

>φ(5△∞)=1=φ(5)○φ(∞)
>φ(5▽∞)=0=φ(5)○φ(∞)
を両方満たす○をお探しで？そんなの準同型と何の関係ありません。

そして、
> △も▽もそのまま意味を変えないで
と申し上げました。
> （Ａ,△,▽)から（Ｂ={0,1},○）
じゃなくて
（Ａ,△,▽)から（Ｂ={0,1},△,▽）
っすよ。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

これでもいろいろと本を読んで調べてみたのですよね・・・。ただ、どの本も同じ説明しかされてなくて、いまいち実感が湧かなくて・・・。
親切に教えていただきありがとうございました。

お礼日時：2002/02/22 13:49